हमें दिया गया है कि एक सम्मिश्र संख्या z के लिए, उसका मापांक |z|=1 है। हम जानते हैं कि किसी भी सम्मिश्र संख्या z के लिए, |z|² = z z होता है। इसलिए, |z|=1 का अर्थ है z z=1²=1, जिससे हमें z=(1)/(z) मिलता है। यह संबंध हमें दूसरी दी गई शर्त को सरल बनाने में मदद करेगा।

हमें दिया गया है कि एक सम्मिश्र संख्या z के लिए, उसका मापांक |z|=1 है। हम जानते हैं कि किसी भी सम्मिश्र संख्या z के लिए, |z|² = z z होता है। इसलिए, |z|=1 का अर्थ है z z=1²=1, जिससे हमें z=(1)/(z) मिलता है। यह संबंध हमें दूसरी दी गई शर्त को सरल बनाने में मदद करेगा।

अब हम दूसरी दी गई शर्त |(z)/(2) + (2)/(z)| = 1 में (1)/(z) के स्थान पर z का उपयोग करते हैं। इससे हमें |(z)/(2) + 2 z| = 1 मिलता है।

अब हम दूसरी दी गई शर्त |(z)/(2) + (2)/(z)| = 1 में (1)/(z) के स्थान पर z का उपयोग करते हैं। इससे हमें |(z)/(2) + 2 z| = 1 मिलता है।

हम जानते हैं कि |w|² = w w। इस गुण का उपयोग करते हुए, हम |(z)/(2) + 2 z| = 1 को वर्ग करके ((z)/(2) + 2 z)( (z)/(2) + 2 z) = 1 लिख सकते हैं। चूंकि w_1+w_2 = w_1 + w_2 और cw = c w, हमें (z)/(2) + 2 z = z2 + 2z मिलता है।

हम जानते हैं कि |w|² = w w। इस गुण का उपयोग करते हुए, हम |(z)/(2) + 2 z| = 1 को वर्ग करके ((z)/(2) + 2 z)( (z)/(2) + 2 z) = 1 लिख सकते हैं। चूंकि w_1+w_2 = w_1 + w_2 और cw = c w, हमें (z)/(2) + 2 z = z2 + 2z मिलता है।

अब हम पिछले चरण के समीकरण का विस्तार करते हैं: ((z)/(2) + 2 z)( z2 + 2z) = z z4 + z² + z² + 4z z। इसे 1 के बराबर रखने पर हमें z z4 + z² + z² + 4z z = 1 मिलता है।

अब हम पिछले चरण के समीकरण का विस्तार करते हैं: ((z)/(2) + 2 z)( z2 + 2z) = z z4 + z² + z² + 4z z। इसे 1 के बराबर रखने पर हमें z z4 + z² + z² + 4z z = 1 मिलता है।

चूंकि z z=1, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: (1)/(4) + z² + z² + 4(1) = 1। इसे सरल करने पर हमें z² + z² = 1 - 4 - (1)/(4) = -3 - (1)/(4) = -(13)/(4) मिलता है।

चूंकि z z=1, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: (1)/(4) + z² + z² + 4(1) = 1। इसे सरल करने पर हमें z² + z² = 1 - 4 - (1)/(4) = -3 - (1)/(4) = -(13)/(4) मिलता है।

हम z को उसके ध्रुवीय रूप z = e^(iθ) में व्यक्त करते हैं, क्योंकि |z|=1 है। तब z² = e^(i2θ) और z² = e^(-i2θ)।

हम z को उसके ध्रुवीय रूप z = e^(iθ) में व्यक्त करते हैं, क्योंकि |z|=1 है। तब z² = e^(i2θ) और z² = e^(-i2θ)।

हम जानते हैं कि e^(i) + e^(-i) = 2cos()। इसलिए, e^(i2θ) + e^(-i2θ) = 2cos(2θ)। इसे - (13)/(4) के बराबर रखने पर हमें 2cos(2θ) = -(13)/(4) मिलता है, जिससे cos(2θ) = -(13)/(8) प्राप्त होता है। चूंकि -1 ≤ cos(x) ≤ 1 और - (13)/(8) ≈ -1.625, जो -1 से कम है, इसलिए cos(2θ) = -(13)/(8) का कोई वास्तविक हल नहीं है। अतः, कोई भी सम्मिश्र संख्या z इन शर्तों को पूरा नहीं करती है।

हम जानते हैं कि e^(i) + e^(-i) = 2cos()। इसलिए, e^(i2θ) + e^(-i2θ) = 2cos(2θ)। इसे - (13)/(4) के बराबर रखने पर हमें 2cos(2θ) = -(13)/(4) मिलता है, जिससे cos(2θ) = -(13)/(8) प्राप्त होता है। चूंकि -1 ≤ cos(x) ≤ 1 और - (13)/(8) ≈ -1.625, जो -1 से कम है, इसलिए cos(2θ) = -(13)/(8) का कोई वास्तविक हल नहीं है। अतः, कोई भी सम्मिश्र संख्या z इन शर्तों को पूरा नहीं करती है।

The number of complex numbers $z$ , satisfying $|z| = 1$ and $\left|\frac{z}{2} + \frac{2}{z}\right| = 1$ , is:

Answer: 0

Step-by-step solution

Step 1: दी गई शर्तों का उपयोग करें

हमें दिया गया है कि एक सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए, उसका मापांक $|z|=1$ है। हम जानते हैं कि किसी भी सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए, $|z|^2 = z\bar{z}$ होता है। इसलिए, $|z|=1$ का अर्थ है $z\bar{z}=1^2=1$ , जिससे हमें $\bar{z}=\frac{1}{z}$ मिलता है। यह संबंध हमें दूसरी दी गई शर्त को सरल बनाने में मदद करेगा।

Step 2: दूसरी शर्त को सरल करें

अब हम दूसरी दी गई शर्त $\left|\frac{z}{2} + \frac{2}{z}\right| = 1$ में $\frac{1}{z}$ के स्थान पर $\bar{z}$ का उपयोग करते हैं। इससे हमें $\left|\frac{z}{2} + 2\bar{z}\right| = 1$ मिलता है।

Step 3: मापांक की परिभाषा का उपयोग करें

हम जानते हैं कि $|w|^2 = w\bar{w}$ । इस गुण का उपयोग करते हुए, हम $\left|\frac{z}{2} + 2\bar{z}\right| = 1$ को वर्ग करके $\left(\frac{z}{2} + 2\bar{z}\right)\left(\overline{\frac{z}{2} + 2\bar{z}}\right) = 1$ लिख सकते हैं। चूंकि $\overline{w_1+w_2} = \bar{w_1} + \bar{w_2}$ और $\overline{cw} = \bar{c}\bar{w}$ , हमें $\overline{\frac{z}{2} + 2\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{2} + 2z$ मिलता है।

Step 4: समीकरण का विस्तार और सरलीकरण करें

अब हम पिछले चरण के समीकरण का विस्तार करते हैं: $\left(\frac{z}{2} + 2\bar{z}\right)\left(\frac{\bar{z}}{2} + 2z\right) = \frac{z\bar{z}}{4} + z^2 + \bar{z}^2 + 4z\bar{z}$ । इसे 1 के बराबर रखने पर हमें $\frac{z\bar{z}}{4} + z^2 + \bar{z}^2 + 4z\bar{z} = 1$ मिलता है।

Step 5: परिणामी समीकरण को हल करें

चूंकि $z\bar{z}=1$ , हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $\frac{1}{4} + z^2 + \bar{z}^2 + 4(1) = 1$ । इसे सरल करने पर हमें $z^2 + \bar{z}^2 = 1 - 4 - \frac{1}{4} = -3 - \frac{1}{4} = -\frac{13}{4}$ मिलता है।

Step 6: ध्रुवीय रूप का उपयोग करें

हम $z$ को उसके ध्रुवीय रूप $z = e^{i\theta}$ में व्यक्त करते हैं, क्योंकि $|z|=1$ है। तब $z^2 = e^{i2\theta}$ और $\bar{z}^2 = e^{-i2\theta}$ ।

Step 7: अंतिम समीकरण को हल करें

हम जानते हैं कि $e^{i\phi} + e^{-i\phi} = 2\cos(\phi)$ । इसलिए, $e^{i2\theta} + e^{-i2\theta} = 2\cos(2\theta)$ । इसे $- \frac{13}{4}$ के बराबर रखने पर हमें $2\cos(2\theta) = -\frac{13}{4}$ मिलता है, जिससे $\cos(2\theta) = -\frac{13}{8}$ प्राप्त होता है। चूंकि $-1 \le \cos(x) \le 1$ और $- \frac{13}{8} \approx -1.625$ , जो $-1$ से कम है, इसलिए $\cos(2\theta) = -\frac{13}{8}$ का कोई वास्तविक हल नहीं है। अतः, कोई भी सम्मिश्र संख्या $z$ इन शर्तों को पूरा नहीं करती है।

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The number of complex numbers zzz, satisfying ∣z∣=1|z| = 1∣z∣=1 and ∣z2+2z∣=1\left|\frac{z}{2} + \frac{2}{z}\right| = 1​2z​+z2​​=1, is: