The number of complex numbers z, satisfying ∣z∣=1 and 2z+z2=1, is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: दी गई शर्तों का उपयोग करें
हमें दिया गया है कि एक सम्मिश्र संख्या z के लिए, उसका मापांक ∣z∣=1 है। हम जानते हैं कि किसी भी सम्मिश्र संख्या z के लिए, ∣z∣2=zzˉ होता है। इसलिए, ∣z∣=1 का अर्थ है zzˉ=12=1, जिससे हमें zˉ=z1 मिलता है। यह संबंध हमें दूसरी दी गई शर्त को सरल बनाने में मदद करेगा।
Step 2: दूसरी शर्त को सरल करें
अब हम दूसरी दी गई शर्त 2z+z2=1 में z1 के स्थान पर zˉ का उपयोग करते हैं। इससे हमें 2z+2zˉ=1 मिलता है।
Step 3: मापांक की परिभाषा का उपयोग करें
हम जानते हैं कि ∣w∣2=wwˉ । इस गुण का उपयोग करते हुए, हम 2z+2zˉ=1 को वर्ग करके (2z+2zˉ)(2z+2zˉ)=1 लिख सकते हैं। चूंकि w1+w2=w1ˉ+w2ˉ और cw=cˉwˉ, हमें 2z+2zˉ=2zˉ+2z मिलता है।
Step 4: समीकरण का विस्तार और सरलीकरण करें
अब हम पिछले चरण के समीकरण का विस्तार करते हैं: (2z+2zˉ)(2zˉ+2z)=4zzˉ+z2+zˉ2+4zzˉ । इसे 1 के बराबर रखने पर हमें 4zzˉ+z2+zˉ2+4zzˉ=1 मिलता है।
Step 5: परिणामी समीकरण को हल करें
चूंकि zzˉ=1, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: 41+z2+zˉ2+4(1)=1 । इसे सरल करने पर हमें z2+zˉ2=1−4−41=−3−41=−413 मिलता है।
Step 6: ध्रुवीय रूप का उपयोग करें
हम z को उसके ध्रुवीय रूप z=eiθ में व्यक्त करते हैं, क्योंकि ∣z∣=1 है। तब z2=ei2θ और zˉ2=e−i2θ ।
Step 7: अंतिम समीकरण को हल करें
हम जानते हैं कि eiϕ+e−iϕ=2cos(ϕ) । इसलिए, ei2θ+e−i2θ=2cos(2θ) । इसे −413 के बराबर रखने पर हमें 2cos(2θ)=−413 मिलता है, जिससे cos(2θ)=−813 प्राप्त होता है। चूंकि −1≤cos(x)≤1 और −813≈−1.625, जो −1 से कम है, इसलिए cos(2θ)=−813 का कोई वास्तविक हल नहीं है। अतः, कोई भी सम्मिश्र संख्या z इन शर्तों को पूरा नहीं करती है।