हमें फलन f(x) = (x²)/(2) - √x के असंततता बिंदुओं की संख्या ज्ञात करनी है, जहाँ x [0, 4]। एक फलन y = u असंतत होता है जब u एक पूर्णांक होता है। इसलिए, हमें उन x मानों को खोजना होगा जहाँ (x²)/(2) या √x पूर्णांक मान लेते हैं।

हमें फलन f(x) = (x²)/(2) - √x के असंततता बिंदुओं की संख्या ज्ञात करनी है, जहाँ x [0, 4]। एक फलन y = u असंतत होता है जब u एक पूर्णांक होता है। इसलिए, हमें उन x मानों को खोजना होगा जहाँ (x²)/(2) या √x पूर्णांक मान लेते हैं।

पहले पद g(x) = (x²)/(2) के लिए, असंततता तब होती है जब (x²)/(2) एक पूर्णांक होता है। x [0, 4] के लिए, (x²)/(2) [0, 8]। इसलिए, (x²)/(2) के पूर्णांक मान 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 हैं। संगत x मान √0, √2, √4, √6, √8, √10, √12, √14, √16 हैं, जो 0, 1.414, 2, 2.449, 2.828, 3.162, 3.464, 3.742, 4 हैं।

पहले पद g(x) = (x²)/(2) के लिए, असंततता तब होती है जब (x²)/(2) एक पूर्णांक होता है। x [0, 4] के लिए, (x²)/(2) [0, 8]। इसलिए, (x²)/(2) के पूर्णांक मान 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 हैं। संगत x मान √0, √2, √4, √6, √8, √10, √12, √14, √16 हैं, जो 0, 1.414, 2, 2.449, 2.828, 3.162, 3.464, 3.742, 4 हैं।

दूसरे पद h(x) = √x के लिए, असंततता तब होती है जब √x एक पूर्णांक होता है। x [0, 4] के लिए, √x [0, 2]। इसलिए, √x के पूर्णांक मान 0, 1, 2 हैं। संगत x मान 0², 1², 2² हैं, जो 0, 1, 4 हैं।

दूसरे पद h(x) = √x के लिए, असंततता तब होती है जब √x एक पूर्णांक होता है। x [0, 4] के लिए, √x [0, 2]। इसलिए, √x के पूर्णांक मान 0, 1, 2 हैं। संगत x मान 0², 1², 2² हैं, जो 0, 1, 4 हैं।

हमें प्रत्येक बिंदु पर जाँच करनी होगी। x=0 पर, f(0) = 0 - 0 = 0. x=0 पर f(x) संतत है। x=2 पर, f(2) = 2 - √2 = 2 - 1 = 1. x=2 पर f(x) संतत है। x=4 पर, f(4) = 8 - 2 = 8 - 2 = 6. x=4 पर f(x) संतत है। अन्य सभी बिंदुओं पर, केवल एक पद असंतत होता है, इसलिए f(x) असंतत होगा। इसलिए, असंततता के बिंदु 1, √2, √6, √8, √10, √12, √14 हैं। कुल 7 बिंदु हैं।

हमें प्रत्येक बिंदु पर जाँच करनी होगी। x=0 पर, f(0) = 0 - 0 = 0. x=0 पर f(x) संतत है। x=2 पर, f(2) = 2 - √2 = 2 - 1 = 1. x=2 पर f(x) संतत है। x=4 पर, f(4) = 8 - 2 = 8 - 2 = 6. x=4 पर f(x) संतत है। अन्य सभी बिंदुओं पर, केवल एक पद असंतत होता है, इसलिए f(x) असंतत होगा। इसलिए, असंततता के बिंदु 1, √2, √6, √8, √10, √12, √14 हैं। कुल 7 बिंदु हैं।

The number of points of discontinuity of the function $f(x) = \left\lfloor \frac{x^2}{2} \right\rfloor - \left\lfloor \sqrt{x} \right\rfloor, x \in [0, 4]$ , where $\lfloor \cdot \rfloor$ denotes the greatest integer function, is _____

Answer: 7

Step-by-step solution

Step 1: फलन के असंततता बिंदुओं की पहचान करें

हमें फलन $f(x) = \left\lfloor \frac{x^2}{2} \right\rfloor - \left\lfloor \sqrt{x} \right\rfloor$ के असंततता बिंदुओं की संख्या ज्ञात करनी है, जहाँ $x \in [0, 4]$ । एक फलन $y = \lfloor u \rfloor$ असंतत होता है जब $u$ एक पूर्णांक होता है। इसलिए, हमें उन $x$ मानों को खोजना होगा जहाँ $\frac{x^2}{2}$ या $\sqrt{x}$ पूर्णांक मान लेते हैं।

Step 2: पहले पद के असंततता बिंदु ज्ञात करें

पहले पद $g(x) = \left\lfloor \frac{x^2}{2} \right\rfloor$ के लिए, असंततता तब होती है जब $\frac{x^2}{2}$ एक पूर्णांक होता है। $x \in [0, 4]$ के लिए, $\frac{x^2}{2} \in [0, 8]$ । इसलिए, $\frac{x^2}{2}$ के पूर्णांक मान $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ हैं। संगत $x$ मान $\sqrt{0}, \sqrt{2}, \sqrt{4}, \sqrt{6}, \sqrt{8}, \sqrt{10}, \sqrt{12}, \sqrt{14}, \sqrt{16}$ हैं, जो $0, 1.414, 2, 2.449, 2.828, 3.162, 3.464, 3.742, 4$ हैं।

Step 3: दूसरे पद के असंततता बिंदु ज्ञात करें

दूसरे पद $h(x) = \left\lfloor \sqrt{x} \right\rfloor$ के लिए, असंततता तब होती है जब $\sqrt{x}$ एक पूर्णांक होता है। $x \in [0, 4]$ के लिए, $\sqrt{x} \in [0, 2]$ । इसलिए, $\sqrt{x}$ के पूर्णांक मान $0, 1, 2$ हैं। संगत $x$ मान $0^2, 1^2, 2^2$ हैं, जो $0, 1, 4$ हैं।

Step 4: कुल असंततता बिंदुओं की पहचान करें

फलन $f(x)$ असंतत होगा यदि $g(x)$ असंतत है या $h(x)$ असंतत है, या यदि दोनों असंतत हैं और उनके असंततता 'रद्द' नहीं होते हैं। असंततता के संभावित बिंदु वे हैं जहाँ $\frac{x^2}{2}$ या $\sqrt{x}$ पूर्णांक मान लेते हैं। इन सभी $x$ मानों का एक संघ लें: $x \in \{0, 1, \sqrt{2}, 2, \sqrt{6}, \sqrt{8}, \sqrt{10}, \sqrt{12}, \sqrt{14}, 4\}$ ।

Step 5: प्रत्येक बिंदु पर असंततता की जाँच करें

हमें प्रत्येक बिंदु पर जाँच करनी होगी। $x=0$ पर, $f(0) = \lfloor 0 \rfloor - \lfloor 0 \rfloor = 0$ . $x=0$ पर $f(x)$ संतत है। $x=2$ पर, $f(2) = \lfloor 2 \rfloor - \lfloor \sqrt{2} \rfloor = 2 - 1 = 1$ . $x=2$ पर $f(x)$ संतत है। $x=4$ पर, $f(4) = \lfloor 8 \rfloor - \lfloor 2 \rfloor = 8 - 2 = 6$ . $x=4$ पर $f(x)$ संतत है। अन्य सभी बिंदुओं पर, केवल एक पद असंतत होता है, इसलिए $f(x)$ असंतत होगा। इसलिए, असंततता के बिंदु $1, \sqrt{2}, \sqrt{6}, \sqrt{8}, \sqrt{10}, \sqrt{12}, \sqrt{14}$ हैं। कुल 7 बिंदु हैं।

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