The number of points of discontinuity of the function f(x)=⌊2x2⌋−⌊x⌋,x∈[0,4], where ⌊⋅⌋ denotes the greatest integer function, is _____
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Step-by-Step Solution
Step 1: फलन के असंततता बिंदुओं की पहचान करें
हमें फलन f(x)=⌊2x2⌋−⌊x⌋ के असंततता बिंदुओं की संख्या ज्ञात करनी है, जहाँ x∈[0,4] । एक फलन y=⌊u⌋ असंतत होता है जब u एक पूर्णांक होता है। इसलिए, हमें उन x मानों को खोजना होगा जहाँ 2x2 या x पूर्णांक मान लेते हैं।
Step 2: पहले पद के असंततता बिंदु ज्ञात करें
पहले पद g(x)=⌊2x2⌋ के लिए, असंततता तब होती है जब 2x2 एक पूर्णांक होता है। x∈[0,4] के लिए, 2x2∈[0,8] । इसलिए, 2x2 के पूर्णांक मान 0,1,2,3,4,5,6,7,8 हैं। संगत x मान 0,2,4,6,8,10,12,14,16 हैं, जो 0,1.414,2,2.449,2.828,3.162,3.464,3.742,4 हैं।
Step 3: दूसरे पद के असंततता बिंदु ज्ञात करें
दूसरे पद h(x)=⌊x⌋ के लिए, असंततता तब होती है जब x एक पूर्णांक होता है। x∈[0,4] के लिए, x∈[0,2] । इसलिए, x के पूर्णांक मान 0,1,2 हैं। संगत x मान 02,12,22 हैं, जो 0,1,4 हैं।
Step 4: कुल असंततता बिंदुओं की पहचान करें
फलन f(x) असंतत होगा यदि g(x) असंतत है या h(x) असंतत है, या यदि दोनों असंतत हैं और उनके असंततता 'रद्द' नहीं होते हैं। असंततता के संभावित बिंदु वे हैं जहाँ 2x2 या x पूर्णांक मान लेते हैं। इन सभी x मानों का एक संघ लें: x∈{0,1,2,2,6,8,10,12,14,4} ।
Step 5: प्रत्येक बिंदु पर असंततता की जाँच करें
हमें प्रत्येक बिंदु पर जाँच करनी होगी। x=0 पर, f(0)=⌊0⌋−⌊0⌋=0. x=0 पर f(x) संतत है। x=2 पर, f(2)=⌊2⌋−⌊2⌋=2−1=1. x=2 पर f(x) संतत है। x=4 पर, f(4)=⌊8⌋−⌊2⌋=8−2=6. x=4 पर f(x) संतत है। अन्य सभी बिंदुओं पर, केवल एक पद असंतत होता है, इसलिए f(x) असंतत होगा। इसलिए, असंततता के बिंदु 1,2,6,8,10,12,14 हैं। कुल 7 बिंदु हैं।