The number of real solution(s) of the equation x2+3x+2=min{∣x−3∣,∣x+2∣} is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: समीकरण को दो भागों में विभाजित करें
दिए गए समीकरण को हल करने के लिए, हमें min{∣x−3∣,∣x+2∣} फलन को समझना होगा। यह फलन x के मान के आधार पर ∣x−3∣ या ∣x+2∣ में से छोटे मान को देता है। हम x के विभिन्न अंतरालों के लिए इस फलन को परिभाषित करेंगे।
Step 2: न्यूनतम फलन का विश्लेषण करें
हम वह बिंदु ज्ञात करते हैं जहाँ ∣x−3∣ और ∣x+2∣ बराबर होते हैं। यह बिंदु हमें अंतरालों को परिभाषित करने में मदद करेगा।
x−3=−(x+2)⟹x−3=−x−2⟹2x=1⟹x=1/2 x−3=x+2⟹−3=2 (जो कि असंभव है)
तो, x=1/2 वह बिंदु है जहाँ दोनों निरपेक्ष मान बराबर होते हैं।
Step 3: केस 1: x<1/2
जब x<1/2 होता है, तो |x - 3| > |x + 2| होता है। इसलिए, min{∣x−3∣,∣x+2∣}=∣x+2∣ ।
चूंकि x<1/2, तो x+2 धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। यदि x<−2, तो ∣x+2∣=−(x+2) । यदि −2≤x<1/2, तो ∣x+2∣=x+2 ।
यदि x<−2: x2+3x+2=−(x+2)⟹x2+4x+4=0⟹(x+2)2=0⟹x=−2 । यह x<−2 की शर्त का उल्लंघन करता है, इसलिए इस अंतराल में कोई हल नहीं है।
यदि −2≤x<1/2: x2+3x+2=x+2⟹x2+2x=0⟹x(x+2)=0⟹x=0 या x=−2 ।
दोनों x=0 और x=−2 इस अंतराल में आते हैं।
Step 4: केस 2: x≥1/2
जब x≥1/2 होता है, तो ∣x−3∣≤∣x+2∣ होता है। इसलिए, min{∣x−3∣,∣x+2∣}=∣x−3∣ ।
चूंकि x≥1/2, तो x−3 धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। यदि 1/2≤x<3, तो ∣x−3∣=−(x−3) । यदि x≥3, तो ∣x−3∣=x−3 ।
यदि 1/2≤x<3: x2+3x+2=−(x−3)⟹x2+4x−1=0 ।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके: x=2(1)−4±42−4(1)(−1)=2−4±16+4=2−4±20=2−4±25=−2±5 ।
x=−2+5≈−2+2.236=0.236 । यह 1/2≤x<3 की शर्त का उल्लंघन करता है क्योंकि 0.236<0.5 ।
x=−2−5≈−2−2.236=−4.236 । यह 1/2≤x<3 की शर्त का उल्लंघन करता है।
इसलिए, इस अंतराल में कोई हल नहीं है।
यदि x≥3: x2+3x+2=x−3⟹x2+2x+5=0 ।
विविक्तकर D=b2−4ac=22−4(1)(5)=4−20=−16<0 ।
चूंकि विविक्तकर ऋणात्मक है, इस समीकरण के कोई वास्तविक हल नहीं हैं।
Step 5: हल की संख्या
हमने पाया कि x=0 और x=−2 दोनों ही मान्य हल हैं। अन्य किसी भी अंतराल में कोई मान्य हल नहीं मिला।