हम वह बिंदु ज्ञात करते हैं जहाँ |x - 3| और |x + 2| बराबर होते हैं। यह बिंदु हमें अंतरालों को परिभाषित करने में मदद करेगा। x - 3 = -(x + 2) ⇒ x - 3 = -x - 2 ⇒ 2x = 1 ⇒ x = 1/2 x - 3 = x + 2 ⇒ -3 = 2 (जो कि असंभव है) तो, x = 1/2 वह बिंदु है जहाँ दोनों निरपेक्ष मान बराबर होते हैं।

हम वह बिंदु ज्ञात करते हैं जहाँ |x - 3| और |x + 2| बराबर होते हैं। यह बिंदु हमें अंतरालों को परिभाषित करने में मदद करेगा। x - 3 = -(x + 2) ⇒ x - 3 = -x - 2 ⇒ 2x = 1 ⇒ x = 1/2 x - 3 = x + 2 ⇒ -3 = 2 (जो कि असंभव है) तो, x = 1/2 वह बिंदु है जहाँ दोनों निरपेक्ष मान बराबर होते हैं।

जब x |x + 2| होता है। इसलिए, min |x - 3|, |x + 2| = |x + 2|। चूंकि x < 1/2, तो x + 2 धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। यदि x < -2, तो |x+2| = -(x+2)। यदि -2 ≤ x < 1/2, तो |x+2| = x+2। यदि x < -2: x² + 3x + 2 = -(x + 2) ⇒ x² + 4x + 4 = 0 ⇒ (x + 2)² = 0 ⇒ x = -2। यह x < -2 की शर्त का उल्लंघन करता है, इसलिए इस अंतराल में कोई हल नहीं है। यदि -2 ≤ x < 1/2: x² + 3x + 2 = x + 2 ⇒ x² + 2x = 0 ⇒ x(x + 2) = 0 ⇒ x = 0 या x = -2। दोनों x = 0 और x = -2 इस अंतराल में आते हैं।

जब x |x + 2| होता है। इसलिए, min |x - 3|, |x + 2| = |x + 2|। चूंकि x < 1/2, तो x + 2 धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। यदि x < -2, तो |x+2| = -(x+2)। यदि -2 ≤ x < 1/2, तो |x+2| = x+2। यदि x < -2: x² + 3x + 2 = -(x + 2) ⇒ x² + 4x + 4 = 0 ⇒ (x + 2)² = 0 ⇒ x = -2। यह x < -2 की शर्त का उल्लंघन करता है, इसलिए इस अंतराल में कोई हल नहीं है। यदि -2 ≤ x < 1/2: x² + 3x + 2 = x + 2 ⇒ x² + 2x = 0 ⇒ x(x + 2) = 0 ⇒ x = 0 या x = -2। दोनों x = 0 और x = -2 इस अंतराल में आते हैं।

जब x ≥ 1/2 होता है, तो |x - 3| ≤ |x + 2| होता है। इसलिए, min |x - 3|, |x + 2| = |x - 3|। चूंकि x ≥ 1/2, तो x - 3 धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। यदि 1/2 ≤ x < 3, तो |x-3| = -(x-3)। यदि x ≥ 3, तो |x-3| = x-3। यदि 1/2 ≤ x < 3: x² + 3x + 2 = -(x - 3) ⇒ x² + 4x - 1 = 0। द्विघात सूत्र का उपयोग करके: x = (-4 ± √(4² - 4(1)(-1)))/(2(1)) = (-4 ± √(16 + 4))/(2) = (-4 ± √20)/(2) = (-4 ± 2√5)/(2) = -2 ± √5। x = -2 + √5 ≈ -2 + 2.236 = 0.236। यह 1/2 ≤ x < 3 की शर्त का उल्लंघन करता है क्योंकि 0.236 < 0.5। x = -2 - √5 ≈ -2 - 2.236 = -4.236। यह 1/2 ≤ x < 3 की शर्त का उल्लंघन करता है। इसलिए, इस अंतराल में कोई हल नहीं है। यदि x ≥ 3: x² + 3x + 2 = x - 3 ⇒ x² + 2x + 5 = 0। विविक्तकर D = b² - 4ac = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0। चूंकि विविक्तकर ऋणात्मक है, इस समीकरण के कोई वास्तविक हल नहीं हैं।

जब x ≥ 1/2 होता है, तो |x - 3| ≤ |x + 2| होता है। इसलिए, min |x - 3|, |x + 2| = |x - 3|। चूंकि x ≥ 1/2, तो x - 3 धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। यदि 1/2 ≤ x < 3, तो |x-3| = -(x-3)। यदि x ≥ 3, तो |x-3| = x-3। यदि 1/2 ≤ x < 3: x² + 3x + 2 = -(x - 3) ⇒ x² + 4x - 1 = 0। द्विघात सूत्र का उपयोग करके: x = (-4 ± √(4² - 4(1)(-1)))/(2(1)) = (-4 ± √(16 + 4))/(2) = (-4 ± √20)/(2) = (-4 ± 2√5)/(2) = -2 ± √5। x = -2 + √5 ≈ -2 + 2.236 = 0.236। यह 1/2 ≤ x < 3 की शर्त का उल्लंघन करता है क्योंकि 0.236 < 0.5। x = -2 - √5 ≈ -2 - 2.236 = -4.236। यह 1/2 ≤ x < 3 की शर्त का उल्लंघन करता है। इसलिए, इस अंतराल में कोई हल नहीं है। यदि x ≥ 3: x² + 3x + 2 = x - 3 ⇒ x² + 2x + 5 = 0। विविक्तकर D = b² - 4ac = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0। चूंकि विविक्तकर ऋणात्मक है, इस समीकरण के कोई वास्तविक हल नहीं हैं।

The number of real solution(s) of the equation $x^2 + 3x + 2 = \min \{|x - 3|, |x + 2|\}$ is:

Answer: समीकरण के वास्तविक हलों की संख्या 2 है।

Step-by-step solution

Step 1: समीकरण को दो भागों में विभाजित करें

दिए गए समीकरण को हल करने के लिए, हमें $\min \{|x - 3|, |x + 2|\}$ फलन को समझना होगा। यह फलन $x$ के मान के आधार पर $|x - 3|$ या $|x + 2|$ में से छोटे मान को देता है। हम $x$ के विभिन्न अंतरालों के लिए इस फलन को परिभाषित करेंगे।

Step 2: न्यूनतम फलन का विश्लेषण करें

हम वह बिंदु ज्ञात करते हैं जहाँ $|x - 3|$ और $|x + 2|$ बराबर होते हैं। यह बिंदु हमें अंतरालों को परिभाषित करने में मदद करेगा। $x - 3 = -(x + 2) \implies x - 3 = -x - 2 \implies 2x = 1 \implies x = 1/2$ $x - 3 = x + 2 \implies -3 = 2$ (जो कि असंभव है) तो, $x = 1/2$ वह बिंदु है जहाँ दोनों निरपेक्ष मान बराबर होते हैं।

Step 3: केस 1: $x < 1/2$

जब $x < 1/2$ होता है, तो $|x - 3| > |x + 2|$ होता है। इसलिए, $\min \{|x - 3|, |x + 2|\} = |x + 2|$ । चूंकि $x < 1/2$ , तो $x + 2$ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। यदि $x < -2$ , तो $|x+2| = -(x+2)$ । यदि $-2 \le x < 1/2$ , तो $|x+2| = x+2$ । यदि $x < -2$ : $x^2 + 3x + 2 = -(x + 2) \implies x^2 + 4x + 4 = 0 \implies (x + 2)^2 = 0 \implies x = -2$ । यह $x < -2$ की शर्त का उल्लंघन करता है, इसलिए इस अंतराल में कोई हल नहीं है। यदि $-2 \le x < 1/2$ : $x^2 + 3x + 2 = x + 2 \implies x^2 + 2x = 0 \implies x(x + 2) = 0 \implies x = 0$ या $x = -2$ । दोनों $x = 0$ और $x = -2$ इस अंतराल में आते हैं।

Step 4: केस 2: $x \ge 1/2$

जब $x \ge 1/2$ होता है, तो $|x - 3| \le |x + 2|$ होता है। इसलिए, $\min \{|x - 3|, |x + 2|\} = |x - 3|$ । चूंकि $x \ge 1/2$ , तो $x - 3$ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। यदि $1/2 \le x < 3$ , तो $|x-3| = -(x-3)$ । यदि $x \ge 3$ , तो $|x-3| = x-3$ । यदि $1/2 \le x < 3$ : $x^2 + 3x + 2 = -(x - 3) \implies x^2 + 4x - 1 = 0$ । द्विघात सूत्र का उपयोग करके: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$ । $x = -2 + \sqrt{5} \approx -2 + 2.236 = 0.236$ । यह $1/2 \le x < 3$ की शर्त का उल्लंघन करता है क्योंकि $0.236 < 0.5$ । $x = -2 - \sqrt{5} \approx -2 - 2.236 = -4.236$ । यह $1/2 \le x < 3$ की शर्त का उल्लंघन करता है। इसलिए, इस अंतराल में कोई हल नहीं है। यदि $x \ge 3$ : $x^2 + 3x + 2 = x - 3 \implies x^2 + 2x + 5 = 0$ । विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0$ । चूंकि विविक्तकर ऋणात्मक है, इस समीकरण के कोई वास्तविक हल नहीं हैं।

Step 5: हल की संख्या

हमने पाया कि $x = 0$ और $x = -2$ दोनों ही मान्य हल हैं। अन्य किसी भी अंतराल में कोई मान्य हल नहीं मिला।

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The number of real solution(s) of the equation x2+3x+2=min⁡{∣x−3∣,∣x+2∣}x^2 + 3x + 2 = \min \{|x - 3|, |x + 2|\}x2+3x+2=min{∣x−3∣,∣x+2∣} is: