हमें sin x = 1/√3 के लिए x [-2π, 5π/2] अंतराल में हलों की संख्या ज्ञात करनी है। चूंकि 1/√3 एक धनात्मक मान है, sin x पहले और दूसरे चतुर्थांश में धनात्मक होगा। अंतराल [-2π, 5π/2] में, sin x = 1/√3 के लिए 5 हल होंगे।

हमें sin x = 1/√3 के लिए x [-2π, 5π/2] अंतराल में हलों की संख्या ज्ञात करनी है। चूंकि 1/√3 एक धनात्मक मान है, sin x पहले और दूसरे चतुर्थांश में धनात्मक होगा। अंतराल [-2π, 5π/2] में, sin x = 1/√3 के लिए 5 हल होंगे।

The number of solutions of the equation $(4-\sqrt{3})\sin x - 2\sqrt{3}\cos^2x = -\frac{4}{1+\sqrt{3}},\quad x\in[-2\pi,\tfrac{5\pi}{2}]$ is equal to:

Answer: 5

Step-by-step solution

Step 1: समीकरण को सरल करें

सबसे पहले, हम दिए गए समीकरण को सरल करेंगे। हम $\cos^2x$ को $1-\sin^2x$ से प्रतिस्थापित करेंगे और दाहिने हाथ की ओर के हर का परिमेयकरण करेंगे। यह समीकरण को केवल $\sin x$ के पदों में व्यक्त करने में मदद करेगा।

Step 2: द्विघात समीकरण में बदलें

अब, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करेंगे ताकि यह $\sin x$ में एक द्विघात समीकरण बन जाए। सभी पदों को एक तरफ ले जाने और समान पदों को संयोजित करने से हमें यह रूप मिलेगा।

Step 3: द्विघात समीकरण को हल करें

यह $\sin x$ में एक द्विघात समीकरण है। हम इसे गुणनखंडन विधि का उपयोग करके हल कर सकते हैं। मध्य पद को विभाजित करके, हम $\sin x$ के लिए दो संभावित मान प्राप्त कर सकते हैं।

Step 4: sin x के मान ज्ञात करें

गुणनखंडन के बाद, हमें $\sin x$ के लिए दो मान मिलते हैं। पहला मान $-(\sqrt{3}+1)/2$ है, जो लगभग $-1.366$ है। चूंकि $\sin x$ का मान $-1$ और $1$ के बीच होना चाहिए, यह मान अमान्य है। दूसरा मान $1/\sqrt{3}$ है, जो लगभग $0.577$ है और मान्य है।

Step 5: दिए गए अंतराल में हलों की संख्या ज्ञात करें

हमें $\sin x = 1/\sqrt{3}$ के लिए $x \in [-2\pi, 5\pi/2]$ अंतराल में हलों की संख्या ज्ञात करनी है। चूंकि $1/\sqrt{3}$ एक धनात्मक मान है, $\sin x$ पहले और दूसरे चतुर्थांश में धनात्मक होगा। अंतराल $[-2\pi, 5\pi/2]$ में, $\sin x = 1/\sqrt{3}$ के लिए 5 हल होंगे।

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The number of solutions of the equation (4−3)sin⁡x−23cos⁡2x=−41+3,x∈[−2π,5π2](4-\sqrt{3})\sin x - 2\sqrt{3}\cos^2x = -\frac{4}{1+\sqrt{3}},\quad x\in[-2\pi,\tfrac{5\pi}{2}](4−3​)sinx−23​cos2x=−1+3​4​,x∈[−2π,25π​] is equal to: