विषम पदों का योग S_विषम = a_1 + a_3 + + a_2n-1 है। यह भी एक समांतर श्रेणी है जिसका पहला पद a और सार्व अंतर 2d है। इसमें n पद हैं। इसी प्रकार, सम पदों का योग S_सम = a_2 + a_4 + + a_2n है। यह भी एक समांतर श्रेणी है जिसका पहला पद a+d और सार्व अंतर 2d है। इसमें भी n पद हैं। दिए गए मानों का उपयोग करके समीकरण बनाते हैं।

विषम पदों का योग S_विषम = a_1 + a_3 + + a_2n-1 है। यह भी एक समांतर श्रेणी है जिसका पहला पद a और सार्व अंतर 2d है। इसमें n पद हैं। इसी प्रकार, सम पदों का योग S_सम = a_2 + a_4 + + a_2n है। यह भी एक समांतर श्रेणी है जिसका पहला पद a+d और सार्व अंतर 2d है। इसमें भी n पद हैं। दिए गए मानों का उपयोग करके समीकरण बनाते हैं।

यह दिया गया है कि अंतिम पद पहले पद से (21)/(2) अधिक है। अंतिम पद a_2n = a + (2n-1)d है। इस संबंध का उपयोग करके हम d का मान ज्ञात कर सकते हैं।

यह दिया गया है कि अंतिम पद पहले पद से (21)/(2) अधिक है। अंतिम पद a_2n = a + (2n-1)d है। इस संबंध का उपयोग करके हम d का मान ज्ञात कर सकते हैं।

पिछले चरणों से प्राप्त समीकरणों nd=6 और (2n-1)d = (21)/(2) का उपयोग करके, हम d और n के मान ज्ञात करते हैं। d = (3)/(2) और n=4 प्राप्त होता है।

पिछले चरणों से प्राप्त समीकरणों nd=6 और (2n-1)d = (21)/(2) का उपयोग करके, हम d और n के मान ज्ञात करते हैं। d = (3)/(2) और n=4 प्राप्त होता है।

The number of terms of an A.P. is even; the sum of all the odd terms is 24, the sum of all the even terms is 30 and the last term exceeds the first by $\frac{21}{2}$ . Then the number of terms which are integers in the A.P. is:

Answer: 4

Step-by-step solution

Step 1: समांतर श्रेणी के पदों को परिभाषित करना

मान लीजिए कि समांतर श्रेणी (A.P.) के पदों की संख्या $2n$ है, क्योंकि यह दिया गया है कि पदों की संख्या सम है। पहला पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।

Step 2: विषम और सम पदों के योग के लिए समीकरण बनाना

विषम पदों का योग $S_{\text{विषम}} = a_1 + a_3 + \dots + a_{2n-1}$ है। यह भी एक समांतर श्रेणी है जिसका पहला पद $a$ और सार्व अंतर $2d$ है। इसमें $n$ पद हैं। इसी प्रकार, सम पदों का योग $S_{\text{सम}} = a_2 + a_4 + \dots + a_{2n}$ है। यह भी एक समांतर श्रेणी है जिसका पहला पद $a+d$ और सार्व अंतर $2d$ है। इसमें भी $n$ पद हैं। दिए गए मानों का उपयोग करके समीकरण बनाते हैं।

Step 3: सार्व अंतर (d) ज्ञात करना

सम पदों के योग में से विषम पदों के योग को घटाने पर हमें $nd$ का मान मिलता है। यह हमें $nd = 6$ देता है।

Step 4: अंतिम पद और पहले पद के बीच संबंध का उपयोग करना

यह दिया गया है कि अंतिम पद पहले पद से $\frac{21}{2}$ अधिक है। अंतिम पद $a_{2n} = a + (2n-1)d$ है। इस संबंध का उपयोग करके हम $d$ का मान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 5: n और d के मान ज्ञात करना

पिछले चरणों से प्राप्त समीकरणों $nd=6$ और $(2n-1)d = \frac{21}{2}$ का उपयोग करके, हम $d$ और $n$ के मान ज्ञात करते हैं। $d = \frac{3}{2}$ और $n=4$ प्राप्त होता है।

Step 6: पहला पद (a) ज्ञात करना

विषम पदों के योग के सूत्र में $n$ और $d$ के मानों को प्रतिस्थापित करके, हम पहला पद $a$ ज्ञात कर सकते हैं। हमें $a = -3$ मिलता है।

Step 7: समांतर श्रेणी के पूर्णांक पदों की संख्या ज्ञात करना

समांतर श्रेणी के पद $a_k = -3 + (k-1)\frac{3}{2}$ हैं। हमें यह निर्धारित करना है कि कितने पद पूर्णांक हैं। चूंकि $a = -3$ एक पूर्णांक है, इसलिए $a_k$ पूर्णांक होगा यदि $(k-1)\frac{3}{2}$ एक पूर्णांक हो। इसका मतलब है कि $(k-1)$ एक सम संख्या होनी चाहिए ताकि 2 से भाग देने पर परिणाम पूर्णांक रहे। $k$ का मान 1 से $2n=8$ तक है। इसलिए, $k-1$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ हैं। इनमें से सम मान $0, 2, 4, 6$ हैं। ये $k-1$ के मान $k=1, 3, 5, 7$ के अनुरूप हैं। इसलिए, 4 पद पूर्णांक हैं।

Solve your own maths question free →

The number of terms of an A.P. is even; the sum of all the odd terms is 24, the sum of all the even terms is 30 and the last term exceeds the first by 212\frac{21}{2}221​. Then the number of terms which are integers in the A.P. is: