सबसे पहले, हम दिए गए व्यंजक को सरल करते हैं। घातांक के नियम के अनुसार, (a^b)^c = a^(b × c) होता है। इसलिए, (64^(64))^(64) को 64^(64 × 64) के रूप में लिखा जा सकता है, जो 64^(4096) के बराबर है।

सबसे पहले, हम दिए गए व्यंजक को सरल करते हैं। घातांक के नियम के अनुसार, (a^b)^c = a^(b × c) होता है। इसलिए, (64^(64))^(64) को 64^(64 × 64) के रूप में लिखा जा सकता है, जो 64^(4096) के बराबर है।

The remainder when $(64^{64})^{64}$ is divided by 7 is equal to:

Answer: 1

Step-by-step solution

Step 1: घात को सरल करें

सबसे पहले, हम दिए गए व्यंजक को सरल करते हैं। घातांक के नियम के अनुसार, $(a^b)^c = a^{b \times c}$ होता है। इसलिए, $(64^{64})^{64}$ को $64^{64 \times 64}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जो $64^{4096}$ के बराबर है।

Step 2: आधार का शेषफल ज्ञात करें

अब, हम आधार $64$ को $7$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करते हैं। $64$ को $7$ से भाग देने पर $9$ बार जाता है और शेषफल $1$ बचता है। इसका मतलब है कि $64$ मॉड्यूलो $7$ के अनुरूप $1$ है।

Step 3: शेषफल का उपयोग करके व्यंजक को सरल करें

चूंकि $64 \equiv 1 \pmod{7}$ , हम $64$ को $1$ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इसलिए, $64^{4096}$ मॉड्यूलो $7$ के अनुरूप $1^{4096}$ है।

Step 4: अंतिम शेषफल ज्ञात करें

किसी भी धनात्मक पूर्णांक घात के लिए $1$ की घात हमेशा $1$ होती है। इसलिए, $1^{4096}$ का मान $1$ है।

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