हम 7^(103) को (7^(22))^4 × 7^(15) के रूप में लिख सकते हैं। चूंकि 7^(22) 1 23, तो (7^(22))^4 1^4 1 23।

अब हमें 7^(15) को 23 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है। हम इसे छोटी घातों में तोड़कर गणना करते हैं। 7^5 -6 23 का उपयोग करके, हम 7^(15) = (7^5)³ (-6)³ = -216 23 प्राप्त करते हैं। -216 को 23 से विभाजित करने पर शेषफल 14 होता है।

अब हमें 7^(15) को 23 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है। हम इसे छोटी घातों में तोड़कर गणना करते हैं। 7^5 -6 23 का उपयोग करके, हम 7^(15) = (7^5)³ (-6)³ = -216 23 प्राप्त करते हैं। -216 को 23 से विभाजित करने पर शेषफल 14 होता है।

The remainder, when $7^{103}$ is divided by 23, is equal to:

Answer: 14

Step-by-step solution

Step 1: फर्मेट के छोटे प्रमेय का प्रयोग करें

फर्मेट का छोटा प्रमेय बताता है कि यदि $p$ एक अभाज्य संख्या है और $a$ एक पूर्णांक है जो $p$ से विभाज्य नहीं है, तो $a^{p-1}$ को $p$ से विभाजित करने पर शेषफल 1 होता है। यहाँ, $a=7$ और $p=23$ है, और 23 एक अभाज्य संख्या है।

Step 2: घात को सरल करें

फर्मेट के छोटे प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि $7^{23-1} = 7^{22}$ को 23 से विभाजित करने पर शेषफल 1 होगा।

Step 3: घात को विभाजित करें

अब, हमें $7^{103}$ को 23 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है। हम 103 को 22 से विभाजित करते हैं ताकि हम $7^{22}$ के गुणकों का उपयोग कर सकें।

Step 4: शेषफल ज्ञात करें

हम $7^{103}$ को $(7^{22})^4 \times 7^{15}$ के रूप में लिख सकते हैं। चूंकि $7^{22} \equiv 1 \pmod{23}$ , तो $(7^{22})^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \pmod{23}$ ।

Step 5: शेषफल की गणना करें

अब हमें $7^{15}$ को 23 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है। हम इसे छोटी घातों में तोड़कर गणना करते हैं। $7^5 \equiv -6 \pmod{23}$ का उपयोग करके, हम $7^{15} = (7^5)^3 \equiv (-6)^3 = -216 \pmod{23}$ प्राप्त करते हैं। $-216$ को 23 से विभाजित करने पर शेषफल 14 होता है।

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The remainder, when 71037^{103}7103 is divided by 23, is equal to: