The remainder, when 7103 is divided by 23, is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: फर्मेट के छोटे प्रमेय का प्रयोग करें
फर्मेट का छोटा प्रमेय बताता है कि यदि p एक अभाज्य संख्या है और a एक पूर्णांक है जो p से विभाज्य नहीं है, तो ap−1 को p से विभाजित करने पर शेषफल 1 होता है। यहाँ, a=7 और p=23 है, और 23 एक अभाज्य संख्या है।
Step 2: घात को सरल करें
फर्मेट के छोटे प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि 723−1=722 को 23 से विभाजित करने पर शेषफल 1 होगा।
Step 3: घात को विभाजित करें
अब, हमें 7103 को 23 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है। हम 103 को 22 से विभाजित करते हैं ताकि हम 722 के गुणकों का उपयोग कर सकें।
Step 4: शेषफल ज्ञात करें
हम 7103 को (722)4×715 के रूप में लिख सकते हैं। चूंकि 722≡1(mod23), तो (722)4≡14≡1(mod23) ।
Step 5: शेषफल की गणना करें
अब हमें 715 को 23 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है। हम इसे छोटी घातों में तोड़कर गणना करते हैं। 75≡−6(mod23) का उपयोग करके, हम 715=(75)3≡(−6)3=−216(mod23) प्राप्त करते हैं। −216 को 23 से विभाजित करने पर शेषफल 14 होता है।