The roots of the quadratic equation 3x2−px+q=03x^2 - px + q = 0 are 10th10^{\text{th}} and 11th11^{\text{th}} terms of an arithmetic progression with common difference 32\frac{3}{2}. If the sum of the first 11 terms of this arithmetic progression is 88, then q−2pq - 2p is equal to:

Answer: 474474

Step-by-step solution

Step 1: समांतर श्रेणी के पहले 11 पदों का योग ज्ञात करें

हमें दिया गया है कि समांतर श्रेणी (AP) के पहले 11 पदों का योग 88 है और सार्व अंतर (common difference) d=32d = \frac{3}{2} है। हम समांतर श्रेणी के nn पदों के योग के सूत्र का उपयोग करके पहले पद aa का मान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 2: पहले पद 'a' का मान ज्ञात करें

पिछले चरण में प्राप्त समीकरण को हल करके, हम समांतर श्रेणी के पहले पद aa का मान ज्ञात करते हैं।

Step 3: समांतर श्रेणी के 10वें और 11वें पद ज्ञात करें

अब जब हमने पहला पद aa और सार्व अंतर dd ज्ञात कर लिया है, तो हम समांतर श्रेणी के nn वें पद के सूत्र का उपयोग करके 10वें और 11वें पद ज्ञात कर सकते हैं। ये पद द्विघात समीकरण के मूल हैं।

Step 4: द्विघात समीकरण के गुणांकों को मूलों से संबंधित करें

एक द्विघात समीकरण Ax2+Bx+C=0Ax^2 + Bx + C = 0 के लिए, मूलों का योग −BA-\frac{B}{A} होता है और मूलों का गुणनफल CA\frac{C}{A} होता है। हम इस संबंध का उपयोग pp और qq के मान ज्ञात करने के लिए करेंगे।

Step 5: pp और qq के मान ज्ञात करें

अब हम 10वें और 11वें पदों के मानों का उपयोग करके pp और qq के मान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 6: q−2pq - 2p का मान ज्ञात करें

अंत में, हम qq और pp के ज्ञात मानों को व्यंजक q−2pq - 2p में प्रतिस्थापित करते हैं ताकि अंतिम उत्तर प्राप्त हो सके।

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