The roots of the quadratic equation 3x2−px+q=0 are 10th and 11th terms of an arithmetic progression with common difference 23. If the sum of the first 11 terms of this arithmetic progression is 88, then q - 2p is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: समांतर श्रेणी के पहले 11 पदों का योग ज्ञात करें
हमें दिया गया है कि समांतर श्रेणी (AP) के पहले 11 पदों का योग 88 है और सार्व अंतर (common difference) d=23 है। हम समांतर श्रेणी के n पदों के योग के सूत्र का उपयोग करके पहले पद a का मान ज्ञात कर सकते हैं।
Step 2: पहले पद 'a' का मान ज्ञात करें
पिछले चरण में प्राप्त समीकरण को हल करके, हम समांतर श्रेणी के पहले पद a का मान ज्ञात करते हैं।
Step 3: समांतर श्रेणी के 10वें और 11वें पद ज्ञात करें
अब जब हमने पहला पद a और सार्व अंतर d ज्ञात कर लिया है, तो हम समांतर श्रेणी के n वें पद के सूत्र का उपयोग करके 10वें और 11वें पद ज्ञात कर सकते हैं। ये पद द्विघात समीकरण के मूल हैं।
Step 4: द्विघात समीकरण के गुणांकों को मूलों से संबंधित करें
एक द्विघात समीकरण Ax2+Bx+C=0 के लिए, मूलों का योग −AB होता है और मूलों का गुणनफल AC होता है। हम इस संबंध का उपयोग p और q के मान ज्ञात करने के लिए करेंगे।
Step 5: p और q के मान ज्ञात करें
अब हम 10वें और 11वें पदों के मानों का उपयोग करके p और q के मान ज्ञात कर सकते हैं।
Step 6: q - 2p का मान ज्ञात करें
अंत में, हम q और p के ज्ञात मानों को व्यंजक q - 2p में प्रतिस्थापित करते हैं ताकि अंतिम उत्तर प्राप्त हो सके।