The shortest distance between the curves y2=8xy^2 = 8x and x2+y2+12y+35=0x^2 + y^2 + 12y + 35 = 0 is:

Answer: 22−12\sqrt{2} - 1

Step-by-step solution

Step 1: वक्रों को पहचानना

पहला समीकरण एक परवलय को दर्शाता है जिसका शीर्ष मूल बिंदु पर है और अक्ष xx -अक्ष के अनुदिश है। दूसरा समीकरण एक वृत्त को दर्शाता है। हम वृत्त के समीकरण को मानक रूप में बदलकर उसका केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कर सकते हैं।

Step 2: वृत्त का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात करना

वृत्त के समीकरण को मानक रूप (x−h)2+(y−k)2=r2(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 में बदलने के लिए, हम yy पदों को पूर्ण वर्ग बनाते हैं। इससे हमें वृत्त का केंद्र (0,−6)(0, -6) और त्रिज्या r=1r=1 प्राप्त होती है।

Step 3: परवलय पर बिंदु और वृत्त के केंद्र के बीच की दूरी

परवलय पर किसी भी बिंदु को (x1,y1)(x_1, y_1) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ x1=y128x_1 = \frac{y_1^2}{8} । वृत्त के केंद्र (0,−6)(0, -6) और परवलय पर बिंदु (x1,y1)(x_1, y_1) के बीच की दूरी के वर्ग का सूत्र लागू करें।

Step 4: दूरी को न्यूनतम करना

न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए, हम दूरी के वर्ग के व्युत्पन्न को y1y_1 के संबंध में शून्य के बराबर सेट करते हैं। यह हमें y1y_1 के लिए एक घन समीकरण देता है। निरीक्षण से, y1=−4y_1 = -4 इस समीकरण का एक मूल है।

Step 5: न्यूनतम दूरी की गणना

जब y1=−4y_1 = -4, तो x1=2x_1 = 2 । इसलिए, परवलय पर सबसे निकटतम बिंदु (2,−4)(2, -4) है। इस बिंदु से वृत्त के केंद्र (0,−6)(0, -6) तक की दूरी 222\sqrt{2} है। वक्रों के बीच की सबसे छोटी दूरी इस दूरी में से वृत्त की त्रिज्या को घटाकर प्राप्त की जाती है।

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