The shortest distance between the curves
y2=8x
and
x2+y2+12y+35=0
is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: वक्रों को पहचानना
पहला समीकरण एक परवलय को दर्शाता है जिसका शीर्ष मूल बिंदु पर है और अक्ष x -अक्ष के अनुदिश है। दूसरा समीकरण एक वृत्त को दर्शाता है। हम वृत्त के समीकरण को मानक रूप में बदलकर उसका केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कर सकते हैं।
Step 2: वृत्त का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात करना
वृत्त के समीकरण को मानक रूप
(x−h)2+(y−k)2=r2में बदलने के लिए,हमyपदों को पूर्ण वर्ग बनाते हैं। इससे हमें वृत्त का केंद्र(0,−6)
और त्रिज्या
r=1
प्राप्त होती है।
Step 3: परवलय पर बिंदु और वृत्त के केंद्र के बीच की दूरी
परवलय पर किसी भी बिंदु को
(x1,y1)के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँx1=8y12। वृत्त के केंद्र(0,−6)
और परवलय पर बिंदु
(x1,y1)
के बीच की दूरी के वर्ग का सूत्र लागू करें।
Step 4: दूरी को न्यूनतम करना
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए, हम दूरी के वर्ग के व्युत्पन्न को y1 के संबंध में शून्य के बराबर सेट करते हैं। यह हमें y1 के लिए एक घन समीकरण देता है। निरीक्षण से, y1=−4 इस समीकरण का एक मूल है।
Step 5: न्यूनतम दूरी की गणना
जब y1=−4, तो x1=2 । इसलिए, परवलय पर सबसे निकटतम बिंदु (2,−4) है। इस बिंदु से वृत्त के केंद्र (0,−6) तक की दूरी 22 है। वक्रों के बीच की सबसे छोटी दूरी इस दूरी में से वृत्त की त्रिज्या को घटाकर प्राप्त की जाती है।