जब -1 ≤ x ≤ 2 होता है, तो फलन f(x) = (1)/(3)(7 + 2|x|) होता है। हम इसे x=0 पर दो भागों में विभाजित करते हैं। x 0 के लिए, f'(x) = (2)/(3) (बढ़ रहा है)। इसलिए, x=0 पर एक स्थानीय न्यूनतम मान है। f(0) = (7)/(3)।

जब -1 ≤ x ≤ 2 होता है, तो फलन f(x) = (1)/(3)(7 + 2|x|) होता है। हम इसे x=0 पर दो भागों में विभाजित करते हैं। x 0 के लिए, f'(x) = (2)/(3) (बढ़ रहा है)। इसलिए, x=0 पर एक स्थानीय न्यूनतम मान है। f(0) = (7)/(3)।

जब x > 2 होता है, तो फलन f(x) = (11)/(18)(x - 4)(x - 5) होता है। यह एक परवलय है जो ऊपर की ओर खुलता है। इसका अवकलज f'(x) = (11)/(18)(2x - 9) है। f'(x) = 0 सेट करने पर हमें x = 4.5 मिलता है। चूंकि f''(x) = (11)/(9) > 0, x = 4.5 पर एक स्थानीय न्यूनतम मान है। f(4.5) = -(11)/(72)।

जब x > 2 होता है, तो फलन f(x) = (11)/(18)(x - 4)(x - 5) होता है। यह एक परवलय है जो ऊपर की ओर खुलता है। इसका अवकलज f'(x) = (11)/(18)(2x - 9) है। f'(x) = 0 सेट करने पर हमें x = 4.5 मिलता है। चूंकि f''(x) = (11)/(9) > 0, x = 4.5 पर एक स्थानीय न्यूनतम मान है। f(4.5) = -(11)/(72)।

हमने x=0 पर f(0) = (7)/(3) और x=4.5 पर f(4.5) = -(11)/(72) पर स्थानीय न्यूनतम मान पाए। x=-1 पर, फलन 1-2x से (1)/(3)(7+2|x|) में बदलता है। x=-1 पर f(-1)=3 है। x 2 के लिए x=4.5 तक घट रहा है, इसलिए x=2 पर कोई स्थानीय न्यूनतम नहीं है।

हमने x=0 पर f(0) = (7)/(3) और x=4.5 पर f(4.5) = -(11)/(72) पर स्थानीय न्यूनतम मान पाए। x=-1 पर, फलन 1-2x से (1)/(3)(7+2|x|) में बदलता है। x=-1 पर f(-1)=3 है। x 2 के लिए x=4.5 तक घट रहा है, इसलिए x=2 पर कोई स्थानीय न्यूनतम नहीं है।

The sum of all local minimum values of the function $f(x) = \begin{cases} 1 - 2x, & x < -1 \\ \frac{1}{3}(7 + 2|x|), & -1 \leq x \leq 2 \\ \frac{11}{18}(x - 4)(x - 5), & x > 2 \end{cases}$ is

Answer: स्थानीय न्यूनतम मानों का योग $\frac{157}{72}$ है।

Step-by-step solution

Step 1: फलन के प्रत्येक भाग का विश्लेषण करें

स्थानीय न्यूनतम मानों को खोजने के लिए, हम फलन के प्रत्येक भाग का विश्लेषण करेंगे और उन बिंदुओं की पहचान करेंगे जहाँ फलन का व्यवहार बदलता है। इसमें प्रत्येक भाग के अवकलज की जाँच करना और खंड बिंदुओं पर फलन के मानों की तुलना करना शामिल है।

Step 2: पहले भाग का विश्लेषण करें ( $x < -1$ )

जब $x < -1$ होता है, तो फलन $f(x) = 1 - 2x$ होता है। इसका अवकलज $f'(x) = -2$ है, जो हमेशा ऋणात्मक होता है। इसका मतलब है कि इस अंतराल में फलन लगातार घट रहा है, इसलिए इस भाग में कोई स्थानीय न्यूनतम मान नहीं है।

Step 3: दूसरे भाग का विश्लेषण करें ( $-1 \leq x \leq 2$ )

जब $-1 \leq x \leq 2$ होता है, तो फलन $f(x) = \frac{1}{3}(7 + 2|x|)$ होता है। हम इसे $x=0$ पर दो भागों में विभाजित करते हैं। $x < 0$ के लिए, $f'(x) = -\frac{2}{3}$ (घट रहा है)। $x > 0$ के लिए, $f'(x) = \frac{2}{3}$ (बढ़ रहा है)। इसलिए, $x=0$ पर एक स्थानीय न्यूनतम मान है। $f(0) = \frac{7}{3}$ ।

Step 4: तीसरे भाग का विश्लेषण करें ( $x > 2$ )

जब $x > 2$ होता है, तो फलन $f(x) = \frac{11}{18}(x - 4)(x - 5)$ होता है। यह एक परवलय है जो ऊपर की ओर खुलता है। इसका अवकलज $f'(x) = \frac{11}{18}(2x - 9)$ है। $f'(x) = 0$ सेट करने पर हमें $x = 4.5$ मिलता है। चूंकि $f''(x) = \frac{11}{9} > 0$ , $x = 4.5$ पर एक स्थानीय न्यूनतम मान है। $f(4.5) = -\frac{11}{72}$ ।

Step 5: खंड बिंदुओं पर मानों की तुलना करें

हमें खंड बिंदुओं $x = -1$ और $x = 2$ पर फलन के मानों की भी जाँच करनी होगी। $f(-1) = 3$ और $f(2) = \frac{11}{3}$ ।

Step 6: स्थानीय न्यूनतम मानों की पहचान करें

हमने $x=0$ पर $f(0) = \frac{7}{3}$ और $x=4.5$ पर $f(4.5) = -\frac{11}{72}$ पर स्थानीय न्यूनतम मान पाए। $x=-1$ पर, फलन $1-2x$ से $\frac{1}{3}(7+2|x|)$ में बदलता है। $x=-1$ पर $f(-1)=3$ है। $x<-1$ के लिए फलन घट रहा है और $-1<x<0$ के लिए भी घट रहा है, इसलिए $x=-1$ पर कोई स्थानीय न्यूनतम नहीं है। $x=2$ पर, फलन $\frac{1}{3}(7+2|x|)$ से $\frac{11}{18}(x-4)(x-5)$ में बदलता है। $x=2$ पर $f(2)=\frac{11}{3}$ है। $0<x<2$ के लिए फलन बढ़ रहा है और $x>2$ के लिए $x=4.5$ तक घट रहा है, इसलिए $x=2$ पर कोई स्थानीय न्यूनतम नहीं है।

Step 7: स्थानीय न्यूनतम मानों का योग ज्ञात करें

सभी स्थानीय न्यूनतम मानों का योग ज्ञात करने के लिए, हम उन मानों को जोड़ते हैं जिनकी हमने पहचान की है: $\frac{7}{3}$ और $-\frac{11}{72}$ ।

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