दी गई श्रृंखला को एक सामान्य पद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। हम देख सकते हैं कि प्रत्येक पद में एक गुणांक (r-2)(r-3) है, एक द्विपद गुणांक 20r है, और एक वैकल्पिक चिह्न (-1)^r है। पहले पद के लिए r=4, दूसरे के लिए r=5, और इसी तरह r=20 तक।

दी गई श्रृंखला को एक सामान्य पद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। हम देख सकते हैं कि प्रत्येक पद में एक गुणांक (r-2)(r-3) है, एक द्विपद गुणांक 20r है, और एक वैकल्पिक चिह्न (-1)^r है। पहले पद के लिए r=4, दूसरे के लिए r=5, और इसी तरह r=20 तक।

हम द्विपद गुणांकों के एक महत्वपूर्ण गुण का उपयोग करेंगे: r(r-1) nr = n(n-1) n-2r-2। इस गुण का उपयोग करके, हम श्रृंखला के प्रत्येक पद को सरल बना सकते हैं।

हम द्विपद गुणांकों के एक महत्वपूर्ण गुण का उपयोग करेंगे: r(r-1) nr = n(n-1) n-2r-2। इस गुण का उपयोग करके, हम श्रृंखला के प्रत्येक पद को सरल बना सकते हैं।

उपरोक्त गुण का उपयोग करते हुए, जहाँ n=20 है, हम (r-2)(r-3) 20r को 20 × 19 18r-2 के रूप में लिख सकते हैं। यह श्रृंखला के प्रत्येक पद को सरल बनाता है।

उपरोक्त गुण का उपयोग करते हुए, जहाँ n=20 है, हम (r-2)(r-3) 20r को 20 × 19 18r-2 के रूप में लिख सकते हैं। यह श्रृंखला के प्रत्येक पद को सरल बनाता है।

अब हम सरलीकृत पद को श्रृंखला में वापस प्रतिस्थापित करते हैं। 20 × 19 = 380 एक स्थिरांक है, जिसे योग से बाहर निकाला जा सकता है।

अब हम सरलीकृत पद को श्रृंखला में वापस प्रतिस्थापित करते हैं। 20 × 19 = 380 एक स्थिरांक है, जिसे योग से बाहर निकाला जा सकता है।

मान लीजिए k = r-2। जब r=4, k=2 और जब r=20, k=18। चूंकि (-1)^(k+2) = (-1)^k (-1)² = (-1)^k, तो श्रृंखला बन जाती है 380 Σ_k=2^(18) (-1)^(k) 18k।

मान लीजिए k = r-2। जब r=4, k=2 और जब r=20, k=18। चूंकि (-1)^(k+2) = (-1)^k (-1)² = (-1)^k, तो श्रृंखला बन जाती है 380 Σ_k=2^(18) (-1)^(k) 18k।

हम जानते हैं कि द्विपद प्रमेय के अनुसार (1-x)^n = Σ_k=0^(n) (-1)^k nk x^k। यदि हम x=1 और n=18 लेते हैं, तो (1-1)^(18) = 0^(18) = 0। इसलिए, Σ_k=0^(18) (-1)^k 18k = 0।

हम जानते हैं कि द्विपद प्रमेय के अनुसार (1-x)^n = Σ_k=0^(n) (-1)^k nk x^k। यदि हम x=1 और n=18 लेते हैं, तो (1-1)^(18) = 0^(18) = 0। इसलिए, Σ_k=0^(18) (-1)^k 18k = 0।

The sum of the series $2 \times 1 \times \binom{20}{4} - 3 \times 2 \times \binom{20}{5} + 4 \times 3 \times \binom{20}{6} - 5 \times 4 \times \binom{20}{7} + \ldots + 18 \times 17 \times \binom{20}{20}$ is equal to:

Answer: $6460$

Step-by-step solution

Step 1: श्रृंखला को सामान्य पद के रूप में व्यक्त करना

दी गई श्रृंखला को एक सामान्य पद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। हम देख सकते हैं कि प्रत्येक पद में एक गुणांक $(r-2)(r-3)$ है, एक द्विपद गुणांक $\binom{20}{r}$ है, और एक वैकल्पिक चिह्न $(-1)^r$ है। पहले पद के लिए $r=4$ , दूसरे के लिए $r=5$ , और इसी तरह $r=20$ तक।

Step 2: द्विपद गुणांकों के गुण का उपयोग करना

हम द्विपद गुणांकों के एक महत्वपूर्ण गुण का उपयोग करेंगे: $r(r-1) \binom{n}{r} = n(n-1) \binom{n-2}{r-2}$ । इस गुण का उपयोग करके, हम श्रृंखला के प्रत्येक पद को सरल बना सकते हैं।

Step 3: श्रृंखला के पद को सरल बनाना

उपरोक्त गुण का उपयोग करते हुए, जहाँ $n=20$ है, हम $(r-2)(r-3) \binom{20}{r}$ को $20 \times 19 \binom{18}{r-2}$ के रूप में लिख सकते हैं। यह श्रृंखला के प्रत्येक पद को सरल बनाता है।

Step 4: सरलीकृत श्रृंखला को फिर से लिखना

अब हम सरलीकृत पद को श्रृंखला में वापस प्रतिस्थापित करते हैं। $20 \times 19 = 380$ एक स्थिरांक है, जिसे योग से बाहर निकाला जा सकता है।

Step 5: चर का परिवर्तन और द्विपद प्रमेय का उपयोग

मान लीजिए $k = r-2$ । जब $r=4$ , $k=2$ और जब $r=20$ , $k=18$ । चूंकि $(-1)^{k+2} = (-1)^k (-1)^2 = (-1)^k$ , तो श्रृंखला बन जाती है $380 \sum_{k=2}^{18} (-1)^{k} \binom{18}{k}$ ।

Step 6: द्विपद विस्तार का उपयोग करके योग का मूल्यांकन

हम जानते हैं कि द्विपद प्रमेय के अनुसार $(1-x)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} x^k$ । यदि हम $x=1$ और $n=18$ लेते हैं, तो $(1-1)^{18} = 0^{18} = 0$ । इसलिए, $\sum_{k=0}^{18} (-1)^k \binom{18}{k} = 0$ ।

Step 7: अंतिम योग की गणना

हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{18} (-1)^k \binom{18}{k} = 0$ । इसलिए, $\sum_{k=2}^{18} (-1)^{k} \binom{18}{k}$ की गणना करने के लिए, हम कुल योग से $k=0$ और $k=1$ के पदों को घटाते हैं। $(-1)^0 \binom{18}{0} = 1 \times 1 = 1$ $(-1)^1 \binom{18}{1} = -1 \times 18 = -18$ तो, $0 - 1 - (-18) = 0 - 1 + 18 = 17$ । अतः, $S = 380 \times 17 = 6460$ ।

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