दिए गए समीकरण में एक निरपेक्ष मान पद |2x - 3| है। निरपेक्ष मान की परिभाषा के अनुसार, हमें दो स्थितियाँ माननी होंगी: जब 2x - 3 ≥ 0 और जब 2x - 3 < 0। यह हमें निरपेक्ष मान को हटाने और दो अलग-अलग द्विघात समीकरण प्राप्त करने में मदद करेगा।

दिए गए समीकरण में एक निरपेक्ष मान पद |2x - 3| है। निरपेक्ष मान की परिभाषा के अनुसार, हमें दो स्थितियाँ माननी होंगी: जब 2x - 3 ≥ 0 और जब 2x - 3 < 0। यह हमें निरपेक्ष मान को हटाने और दो अलग-अलग द्विघात समीकरण प्राप्त करने में मदद करेगा।

जब 2x - 3 ≥ 0 (या x ≥ 3/2), तो |2x - 3| = 2x - 3 होता है। इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें x² + 2x - 3 - 4 = 0 मिलता है, जो x² + 2x - 7 = 0 के बराबर है। इस द्विघात समीकरण के मूलों को द्विघात सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)।

जब 2x - 3 ≥ 0 (या x ≥ 3/2), तो |2x - 3| = 2x - 3 होता है। इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें x² + 2x - 3 - 4 = 0 मिलता है, जो x² + 2x - 7 = 0 के बराबर है। इस द्विघात समीकरण के मूलों को द्विघात सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)।

द्विघात सूत्र का उपयोग करके, हमें x = -1 + 2√2 और x = -1 - 2√2 मूल मिलते हैं। हमें यह जांचना होगा कि ये मूल x ≥ 3/2 की शर्त को पूरा करते हैं। 2√2 ≈ 2 × 1.414 = 2.828। तो, x_1 = -1 + 2.828 = 1.828 जो 3/2 = 1.5 से बड़ा है। x_2 = -1 - 2.828 = -3.828 जो 1.5 से छोटा है। इसलिए, इस स्थिति के लिए केवल x_1 = -1 + 2√2 एक वैध मूल है।

द्विघात सूत्र का उपयोग करके, हमें x = -1 + 2√2 और x = -1 - 2√2 मूल मिलते हैं। हमें यह जांचना होगा कि ये मूल x ≥ 3/2 की शर्त को पूरा करते हैं। 2√2 ≈ 2 × 1.414 = 2.828। तो, x_1 = -1 + 2.828 = 1.828 जो 3/2 = 1.5 से बड़ा है। x_2 = -1 - 2.828 = -3.828 जो 1.5 से छोटा है। इसलिए, इस स्थिति के लिए केवल x_1 = -1 + 2√2 एक वैध मूल है।

जब 2x - 3 < 0 (या x < 3/2), तो |2x - 3| = -(2x - 3) होता है। इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें x² - (2x - 3) - 4 = 0 मिलता है, जो x² - 2x + 3 - 4 = 0 या x² - 2x - 1 = 0 के बराबर है।

जब 2x - 3 < 0 (या x < 3/2), तो |2x - 3| = -(2x - 3) होता है। इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें x² - (2x - 3) - 4 = 0 मिलता है, जो x² - 2x + 3 - 4 = 0 या x² - 2x - 1 = 0 के बराबर है।

द्विघात सूत्र का उपयोग करके, हमें x = 1 + √2 और x = 1 - √2 मूल मिलते हैं। हमें यह जांचना होगा कि ये मूल x < 3/2 की शर्त को पूरा करते हैं। √2 ≈ 1.414। तो, x_3 = 1 + 1.414 = 2.414 जो 3/2 = 1.5 से बड़ा है। x_4 = 1 - 1.414 = -0.414 जो 1.5 से छोटा है। इसलिए, इस स्थिति के लिए केवल x_4 = 1 - √2 एक वैध मूल है।

द्विघात सूत्र का उपयोग करके, हमें x = 1 + √2 और x = 1 - √2 मूल मिलते हैं। हमें यह जांचना होगा कि ये मूल x < 3/2 की शर्त को पूरा करते हैं। √2 ≈ 1.414। तो, x_3 = 1 + 1.414 = 2.414 जो 3/2 = 1.5 से बड़ा है। x_4 = 1 - 1.414 = -0.414 जो 1.5 से छोटा है। इसलिए, इस स्थिति के लिए केवल x_4 = 1 - √2 एक वैध मूल है।

समीकरण के वैध मूल x_1 = -1 + 2√2 और x_4 = 1 - √2 हैं। अब हम इन मूलों के वर्गों का योग ज्ञात करेंगे। (a+b)² = a² + 2ab + b² और (a-b)² = a² - 2ab + b² सूत्र का उपयोग करके गणना करें।

समीकरण के वैध मूल x_1 = -1 + 2√2 और x_4 = 1 - √2 हैं। अब हम इन मूलों के वर्गों का योग ज्ञात करेंगे। (a+b)² = a² + 2ab + b² और (a-b)² = a² - 2ab + b² सूत्र का उपयोग करके गणना करें।

पहले मूल का वर्ग है: (-1 + 2√2)² = (-1)² + 2(-1)(2√2) + (2√2)² = 1 - 4√2 + 8 = 9 - 4√2। दूसरे मूल का वर्ग है: (1 - √2)² = (1)² - 2(1)(√2) + (√2)² = 1 - 2√2 + 2 = 3 - 2√2। इन दोनों वर्गों का योग है: (9 - 4√2) + (3 - 2√2) = 12 - 6√2।

पहले मूल का वर्ग है: (-1 + 2√2)² = (-1)² + 2(-1)(2√2) + (2√2)² = 1 - 4√2 + 8 = 9 - 4√2। दूसरे मूल का वर्ग है: (1 - √2)² = (1)² - 2(1)(√2) + (√2)² = 1 - 2√2 + 2 = 3 - 2√2। इन दोनों वर्गों का योग है: (9 - 4√2) + (3 - 2√2) = 12 - 6√2।

The sum, of the squares of all the roots of the equation $x^2 + |2x - 3| - 4 = 0$ , is

Answer: $12 - 6\sqrt{2}$

Step-by-step solution

Step 1: समीकरण को दो स्थितियों में विभाजित करें

दिए गए समीकरण में एक निरपेक्ष मान पद $|2x - 3|$ है। निरपेक्ष मान की परिभाषा के अनुसार, हमें दो स्थितियाँ माननी होंगी: जब $2x - 3 \ge 0$ और जब $2x - 3 < 0$ । यह हमें निरपेक्ष मान को हटाने और दो अलग-अलग द्विघात समीकरण प्राप्त करने में मदद करेगा।

Step 2: स्थिति 1: $2x - 3 \ge 0$ के लिए समीकरण हल करें

जब $2x - 3 \ge 0$ (या $x \ge 3/2$ ), तो $|2x - 3| = 2x - 3$ होता है। इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें $x^2 + 2x - 3 - 4 = 0$ मिलता है, जो $x^2 + 2x - 7 = 0$ के बराबर है। इस द्विघात समीकरण के मूलों को द्विघात सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ।

Step 3: स्थिति 1 के मूलों की गणना करें और सत्यापन करें

द्विघात सूत्र का उपयोग करके, हमें $x = -1 + 2\sqrt{2}$ और $x = -1 - 2\sqrt{2}$ मूल मिलते हैं। हमें यह जांचना होगा कि ये मूल $x \ge 3/2$ की शर्त को पूरा करते हैं। $2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828$ । तो, $x_1 = -1 + 2.828 = 1.828$ जो $3/2 = 1.5$ से बड़ा है। $x_2 = -1 - 2.828 = -3.828$ जो $1.5$ से छोटा है। इसलिए, इस स्थिति के लिए केवल $x_1 = -1 + 2\sqrt{2}$ एक वैध मूल है।

Step 4: स्थिति 2: $2x - 3 < 0$ के लिए समीकरण हल करें

जब $2x - 3 < 0$ (या $x < 3/2$ ), तो $|2x - 3| = -(2x - 3)$ होता है। इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें $x^2 - (2x - 3) - 4 = 0$ मिलता है, जो $x^2 - 2x + 3 - 4 = 0$ या $x^2 - 2x - 1 = 0$ के बराबर है।

Step 5: स्थिति 2 के मूलों की गणना करें और सत्यापन करें

द्विघात सूत्र का उपयोग करके, हमें $x = 1 + \sqrt{2}$ और $x = 1 - \sqrt{2}$ मूल मिलते हैं। हमें यह जांचना होगा कि ये मूल $x < 3/2$ की शर्त को पूरा करते हैं। $\sqrt{2} \approx 1.414$ । तो, $x_3 = 1 + 1.414 = 2.414$ जो $3/2 = 1.5$ से बड़ा है। $x_4 = 1 - 1.414 = -0.414$ जो $1.5$ से छोटा है। इसलिए, इस स्थिति के लिए केवल $x_4 = 1 - \sqrt{2}$ एक वैध मूल है।

Step 6: सभी वैध मूलों के वर्गों का योग ज्ञात करें

समीकरण के वैध मूल $x_1 = -1 + 2\sqrt{2}$ और $x_4 = 1 - \sqrt{2}$ हैं। अब हम इन मूलों के वर्गों का योग ज्ञात करेंगे। $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ और $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ सूत्र का उपयोग करके गणना करें।

Step 7: वर्गों का योग की गणना करें

पहले मूल का वर्ग है: $(-1 + 2\sqrt{2})^2 = (-1)^2 + 2(-1)(2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2 = 1 - 4\sqrt{2} + 8 = 9 - 4\sqrt{2}$ । दूसरे मूल का वर्ग है: $(1 - \sqrt{2})^2 = (1)^2 - 2(1)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}$ । इन दोनों वर्गों का योग है: $(9 - 4\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 12 - 6\sqrt{2}$ ।

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The sum, of the squares of all the roots of the equation x2+∣2x−3∣−4=0x^2 + |2x - 3| - 4 = 0x2+∣2x−3∣−4=0, is