The sum, of the squares of all the roots of the equation x2+∣2x−3∣−4=0, is
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Step-by-Step Solution
Step 1: समीकरण को दो स्थितियों में विभाजित करें
दिए गए समीकरण में एक निरपेक्ष मान पद ∣2x−3∣ है। निरपेक्ष मान की परिभाषा के अनुसार, हमें दो स्थितियाँ माननी होंगी: जब 2x−3≥0 और जब 2x−3<0 । यह हमें निरपेक्ष मान को हटाने और दो अलग-अलग द्विघात समीकरण प्राप्त करने में मदद करेगा।
Step 2: स्थिति 1: 2x−3≥0 के लिए समीकरण हल करें
जब 2x−3≥0 (या x≥3/2), तो ∣2x−3∣=2x−3 होता है। इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें x2+2x−3−4=0 मिलता है, जो x2+2x−7=0 के बराबर है। इस द्विघात समीकरण के मूलों को द्विघात सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: x=2a−b±b2−4ac ।
Step 3: स्थिति 1 के मूलों की गणना करें और सत्यापन करें
द्विघात सूत्र का उपयोग करके, हमें x=−1+22 और x=−1−22 मूल मिलते हैं। हमें यह जांचना होगा कि ये मूल x≥3/2 की शर्त को पूरा करते हैं। 22≈2×1.414=2.828 । तो, x1=−1+2.828=1.828 जो 3/2=1.5 से बड़ा है। x2=−1−2.828=−3.828 जो 1.5 से छोटा है। इसलिए, इस स्थिति के लिए केवल x1=−1+22 एक वैध मूल है।
Step 4: स्थिति 2: 2x−3<0 के लिए समीकरण हल करें
जब 2x−3<0 (या x<3/2), तो ∣2x−3∣=−(2x−3) होता है। इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें x2−(2x−3)−4=0 मिलता है, जो x2−2x+3−4=0 या x2−2x−1=0 के बराबर है।
Step 5: स्थिति 2 के मूलों की गणना करें और सत्यापन करें
द्विघात सूत्र का उपयोग करके, हमें x=1+2 और x=1−2 मूल मिलते हैं। हमें यह जांचना होगा कि ये मूल x<3/2 की शर्त को पूरा करते हैं। 2≈1.414 । तो, x3=1+1.414=2.414 जो 3/2=1.5 से बड़ा है। x4=1−1.414=−0.414 जो 1.5 से छोटा है। इसलिए, इस स्थिति के लिए केवल x4=1−2 एक वैध मूल है।
Step 6: सभी वैध मूलों के वर्गों का योग ज्ञात करें
समीकरण के वैध मूल x1=−1+22 और x4=1−2 हैं। अब हम इन मूलों के वर्गों का योग ज्ञात करेंगे। (a+b)2=a2+2ab+b2 और (a−b)2=a2−2ab+b2 सूत्र का उपयोग करके गणना करें।
Step 7: वर्गों का योग की गणना करें
पहले मूल का वर्ग है: (−1+22)2=(−1)2+2(−1)(22)+(22)2=1−42+8=9−42 । दूसरे मूल का वर्ग है: (1−2)2=(1)2−2(1)(2)+(2)2=1−22+2=3−22 । इन दोनों वर्गों का योग है: (9−42)+(3−22)=12−62 ।