The sum of the squares of the roots of ∣x+2∣2+∣x−2∣−2=0 and the squares of the roots of x2−2∣x−3∣−5=0, is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: पहले समीकरण को हल करें
हम पहले समीकरण ∣x+2∣2+∣x−2∣−2=0 को हल करेंगे। चूंकि ∣x+2∣2=(x+2)2=x2+4x+4 होता है, हम समीकरण को (x+2)2+∣x−2∣−2=0 के रूप में लिख सकते हैं। हम x−2 के चिन्ह के आधार पर दो स्थितियाँ लेंगे।
Step 2: स्थिति 1: x≥2
यदि x≥2 है, तो ∣x−2∣=x−2 । समीकरण (x+2)2+(x−2)−2=0 बन जाता है। इसे सरल करने पर हमें x2+5x=0 मिलता है, जिसके मूल x=0 और x=−5 हैं। चूंकि ये दोनों मूल x≥2 की शर्त को पूरा नहीं करते हैं, इसलिए इस स्थिति में कोई वैध मूल नहीं हैं।
Step 3: स्थिति 2: x<2
यदि x<2 है, तो ∣x−2∣=−(x−2) । समीकरण (x+2)2−(x−2)−2=0 बन जाता है। इसे सरल करने पर हमें x2+3x+4=0 मिलता है। इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर D=b2−4ac=32−4(1)(4)=9−16=−7 है, जो ऋणात्मक है। इसलिए, इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
Step 4: पहले समीकरण के मूलों के वर्गों का योग
चूंकि पहले समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं, इसलिए इसके मूलों के वर्गों का योग 0 है।
Step 5: दूसरे समीकरण को हल करें
अब हम दूसरे समीकरण x2−2∣x−3∣−5=0 को हल करेंगे। हम x−3 के चिन्ह के आधार पर दो स्थितियाँ लेंगे।
Step 6: स्थिति 1: x≥3
यदि x≥3 है, तो ∣x−3∣=x−3 । समीकरण x2−2(x−3)−5=0 बन जाता है। इसे सरल करने पर हमें x2−2x+1=0 मिलता है, जिसे (x−1)2=0 के रूप में लिखा जा सकता है। इसका मूल x=1 है। चूंकि x=1 शर्त x≥3 को पूरा नहीं करता है, इसलिए इस स्थिति में कोई वैध मूल नहीं है।
Step 7: स्थिति 2: x<3
यदि x<3 है, तो ∣x−3∣=−(x−3) । समीकरण x2−2(−(x−3))−5=0 बन जाता है। इसे सरल करने पर हमें x2+2x−11=0 मिलता है। इस द्विघात समीकरण के मूलों को द्विघात सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: x=2a−b±b2−4ac ।
Step 8: दूसरे समीकरण के मूलों के वर्गों का योग
दूसरे समीकरण के मूल x1=−1+23 और x2=−1−23 हैं। दोनों मूल x<3 की शर्त को पूरा करते हैं क्योंकि 23≈2(1.732)=3.464 । तो x1=−1+3.464=2.464<3 और x2=−1−3.464=−4.464<3 ।
मूलों के वर्गों का योग x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2 है।
यहाँ, x1+x2=−2 और x1x2=−11 ।
इसलिए, x12+x22=(−2)2−2(−11)=4+22=26 ।
Step 9: कुल योग
पहले समीकरण के मूलों के वर्गों का योग 0 है और दूसरे समीकरण के मूलों के वर्गों का योग 26 है। इसलिए, कुल योग 0+26=26 है।