हम पहले समीकरण |x + 2|² + |x - 2| - 2 = 0 को हल करेंगे। चूंकि |x+2|² = (x+2)² = x² + 4x + 4 होता है, हम समीकरण को (x+2)² + |x-2| - 2 = 0 के रूप में लिख सकते हैं। हम x-2 के चिन्ह के आधार पर दो स्थितियाँ लेंगे।

हम पहले समीकरण |x + 2|² + |x - 2| - 2 = 0 को हल करेंगे। चूंकि |x+2|² = (x+2)² = x² + 4x + 4 होता है, हम समीकरण को (x+2)² + |x-2| - 2 = 0 के रूप में लिख सकते हैं। हम x-2 के चिन्ह के आधार पर दो स्थितियाँ लेंगे।

यदि x < 2 है, तो |x-2| = -(x-2)। समीकरण (x+2)² - (x-2) - 2 = 0 बन जाता है। इसे सरल करने पर हमें x² + 3x + 4 = 0 मिलता है। इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर D = b² - 4ac = 3² - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 है, जो ऋणात्मक है। इसलिए, इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

यदि x < 2 है, तो |x-2| = -(x-2)। समीकरण (x+2)² - (x-2) - 2 = 0 बन जाता है। इसे सरल करने पर हमें x² + 3x + 4 = 0 मिलता है। इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर D = b² - 4ac = 3² - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 है, जो ऋणात्मक है। इसलिए, इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

अब हम दूसरे समीकरण x² - 2|x - 3| - 5 = 0 को हल करेंगे। हम x-3 के चिन्ह के आधार पर दो स्थितियाँ लेंगे।

अब हम दूसरे समीकरण x² - 2|x - 3| - 5 = 0 को हल करेंगे। हम x-3 के चिन्ह के आधार पर दो स्थितियाँ लेंगे।

यदि x ≥ 3 है, तो |x-3| = x-3। समीकरण x² - 2(x - 3) - 5 = 0 बन जाता है। इसे सरल करने पर हमें x² - 2x + 1 = 0 मिलता है, जिसे (x-1)² = 0 के रूप में लिखा जा सकता है। इसका मूल x=1 है। चूंकि x=1 शर्त x ≥ 3 को पूरा नहीं करता है, इसलिए इस स्थिति में कोई वैध मूल नहीं है।

यदि x ≥ 3 है, तो |x-3| = x-3। समीकरण x² - 2(x - 3) - 5 = 0 बन जाता है। इसे सरल करने पर हमें x² - 2x + 1 = 0 मिलता है, जिसे (x-1)² = 0 के रूप में लिखा जा सकता है। इसका मूल x=1 है। चूंकि x=1 शर्त x ≥ 3 को पूरा नहीं करता है, इसलिए इस स्थिति में कोई वैध मूल नहीं है।

यदि x < 3 है, तो |x-3| = -(x-3)। समीकरण x² - 2(-(x - 3)) - 5 = 0 बन जाता है। इसे सरल करने पर हमें x² + 2x - 11 = 0 मिलता है। इस द्विघात समीकरण के मूलों को द्विघात सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)।

यदि x < 3 है, तो |x-3| = -(x-3)। समीकरण x² - 2(-(x - 3)) - 5 = 0 बन जाता है। इसे सरल करने पर हमें x² + 2x - 11 = 0 मिलता है। इस द्विघात समीकरण के मूलों को द्विघात सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)।

The sum of the squares of the roots of $|x + 2|^2 + |x - 2| - 2 = 0$ and the squares of the roots of $x^2 - 2|x - 3| - 5 = 0$ , is:

Answer: 26

Step-by-step solution

Step 1: पहले समीकरण को हल करें

हम पहले समीकरण $|x + 2|^2 + |x - 2| - 2 = 0$ को हल करेंगे। चूंकि $|x+2|^2 = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$ होता है, हम समीकरण को $(x+2)^2 + |x-2| - 2 = 0$ के रूप में लिख सकते हैं। हम $x-2$ के चिन्ह के आधार पर दो स्थितियाँ लेंगे।

Step 2: स्थिति 1: $x \ge 2$

यदि $x \ge 2$ है, तो $|x-2| = x-2$ । समीकरण $(x+2)^2 + (x-2) - 2 = 0$ बन जाता है। इसे सरल करने पर हमें $x^2 + 5x = 0$ मिलता है, जिसके मूल $x=0$ और $x=-5$ हैं। चूंकि ये दोनों मूल $x \ge 2$ की शर्त को पूरा नहीं करते हैं, इसलिए इस स्थिति में कोई वैध मूल नहीं हैं।

Step 3: स्थिति 2: $x < 2$

यदि $x < 2$ है, तो $|x-2| = -(x-2)$ । समीकरण $(x+2)^2 - (x-2) - 2 = 0$ बन जाता है। इसे सरल करने पर हमें $x^2 + 3x + 4 = 0$ मिलता है। इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$ है, जो ऋणात्मक है। इसलिए, इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

Step 4: पहले समीकरण के मूलों के वर्गों का योग

चूंकि पहले समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं, इसलिए इसके मूलों के वर्गों का योग 0 है।

Step 5: दूसरे समीकरण को हल करें

अब हम दूसरे समीकरण $x^2 - 2|x - 3| - 5 = 0$ को हल करेंगे। हम $x-3$ के चिन्ह के आधार पर दो स्थितियाँ लेंगे।

Step 6: स्थिति 1: $x \ge 3$

यदि $x \ge 3$ है, तो $|x-3| = x-3$ । समीकरण $x^2 - 2(x - 3) - 5 = 0$ बन जाता है। इसे सरल करने पर हमें $x^2 - 2x + 1 = 0$ मिलता है, जिसे $(x-1)^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसका मूल $x=1$ है। चूंकि $x=1$ शर्त $x \ge 3$ को पूरा नहीं करता है, इसलिए इस स्थिति में कोई वैध मूल नहीं है।

Step 7: स्थिति 2: $x < 3$

यदि $x < 3$ है, तो $|x-3| = -(x-3)$ । समीकरण $x^2 - 2(-(x - 3)) - 5 = 0$ बन जाता है। इसे सरल करने पर हमें $x^2 + 2x - 11 = 0$ मिलता है। इस द्विघात समीकरण के मूलों को द्विघात सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ।

Step 8: दूसरे समीकरण के मूलों के वर्गों का योग

दूसरे समीकरण के मूल $x_1 = -1 + 2\sqrt{3}$ और $x_2 = -1 - 2\sqrt{3}$ हैं। दोनों मूल $x < 3$ की शर्त को पूरा करते हैं क्योंकि $2\sqrt{3} \approx 2(1.732) = 3.464$ । तो $x_1 = -1 + 3.464 = 2.464 < 3$ और $x_2 = -1 - 3.464 = -4.464 < 3$ । मूलों के वर्गों का योग $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$ है। यहाँ, $x_1+x_2 = -2$ और $x_1x_2 = -11$ । इसलिए, $x_1^2 + x_2^2 = (-2)^2 - 2(-11) = 4 + 22 = 26$ ।

Step 9: कुल योग

पहले समीकरण के मूलों के वर्गों का योग 0 है और दूसरे समीकरण के मूलों के वर्गों का योग 26 है। इसलिए, कुल योग $0 + 26 = 26$ है।

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The sum of the squares of the roots of ∣x+2∣2+∣x−2∣−2=0|x + 2|^2 + |x - 2| - 2 = 0∣x+2∣2+∣x−2∣−2=0 and the squares of the roots of x2−2∣x−3∣−5=0x^2 - 2|x - 3| - 5 = 0x2−2∣x−3∣−5=0, is: