The system of equations x+y+z=6x + y + z = 6, x+2y+5z=9x + 2y + 5z = 9, x+5y+λz=μx + 5y + \lambda z = \mu has no solution if:

Answer: निकाय का कोई हल नहीं है यदि λ=17\lambda = 17 और μ≠18\mu \neq 18 ।

Step-by-step solution

Step 1: दिए गए समीकरणों को आव्यूह रूप में लिखें

सबसे पहले, हम दिए गए समीकरणों के निकाय को आव्यूह रूप AX=BAX = B में लिखते हैं, जहाँ AA गुणांक आव्यूह है, XX चर आव्यूह है, और BB स्थिरांक आव्यूह है।

Step 2: संवर्धित आव्यूह (Augmented Matrix) बनाएं

अब, हम संवर्धित आव्यूह [A∣B][A|B] बनाते हैं, जो गुणांक आव्यूह AA और स्थिरांक आव्यूह BB को एक साथ जोड़ता है।

Step 3: पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करके आव्यूह को सरल करें

हम आव्यूह को पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करके सरल करते हैं ताकि इसे एक सोपानक रूप में लाया जा सके। पहले, हम R2R_2 से R1R_1 घटाते हैं और R3R_3 से R1R_1 घटाते हैं। फिर, हम R3R_3 से 4R24R_2 घटाते हैं।

Step 4: कोई हल न होने की शर्त लागू करें

एक रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल नहीं होता है यदि गुणांक आव्यूह AA की कोटि संवर्धित आव्यूह [A∣B][A|B] की कोटि के बराबर नहीं होती है। यह तब होता है जब अंतिम पंक्ति में गुणांक शून्य होते हैं, लेकिन स्थिरांक गैर-शून्य होता है।

Step 5: परिणामी शर्तों को हल करें

कोई हल न होने के लिए, हमें λ−17=0\lambda - 17 = 0 और μ−18≠0\mu - 18 \neq 0 की आवश्यकता है। इससे हमें λ=17\lambda = 17 और μ≠18\mu \neq 18 मिलता है।

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