हम अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हैं: 1 + cos(θ) = 2cos²((θ)/(2)) और sin(θ) = 2sin((θ)/(2))cos((θ)/(2))। इन सूत्रों को लागू करने के बाद, हम व्यंजकों को और सरल करते हैं।

हम अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हैं: 1 + cos(θ) = 2cos²((θ)/(2)) और sin(θ) = 2sin((θ)/(2))cos((θ)/(2))। इन सूत्रों को लागू करने के बाद, हम व्यंजकों को और सरल करते हैं।

हम जानते हैं कि cot^(-1)(-cot(x)) = π - cot^(-1)(cot(x))। चूंकि 1 रेडियन 0 और π के बीच है, cot^(-1)(cot(1)) = 1।

The value of $\cot^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + \tan^2(2)} - 1}{\tan(2)} \right) - \cot^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + \tan^2\left(\frac{1}{2}\right)} + 1}{\tan\left(\frac{1}{2}\right)} \right)$ is equal to:

Answer: $\pi - 1 - \frac{1}{4}$

Step-by-step solution

Step 1: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करें

हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$ होती है। इसलिए, $\sqrt{1 + \tan^2(\theta)}$ को $|\sec(\theta)|$ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि $2$ रेडियन लगभग $114.6$ डिग्री है, जो दूसरे चतुर्थांश में है, $\sec(2)$ ऋणात्मक होगा। इसी प्रकार, $\frac{1}{2}$ रेडियन लगभग $28.6$ डिग्री है, जो पहले चतुर्थांश में है, $\sec\left(\frac{1}{2}\right)$ धनात्मक होगा।

Step 2: व्यंजकों को सरल करें

अब हम $\sec(\theta)$ को $\frac{1}{\cos(\theta)}$ और $\tan(\theta)$ को $\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ के रूप में बदलकर व्यंजकों को सरल करते हैं। पहले पद में, $\sec(2)$ ऋणात्मक है, इसलिए $\sqrt{1 + \tan^2(2)} = -\sec(2)$ । दूसरे पद में, $\sec\left(\frac{1}{2}\right)$ धनात्मक है, इसलिए $\sqrt{1 + \tan^2\left(\frac{1}{2}\right)} = \sec\left(\frac{1}{2}\right)$ ।

Step 3: अर्ध-कोण सूत्रों का प्रयोग करें

हम अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हैं: $1 + \cos(\theta) = 2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$ और $\sin(\theta) = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ । इन सूत्रों को लागू करने के बाद, हम व्यंजकों को और सरल करते हैं।

Step 4: अंतिम मान ज्ञात करें

हम जानते हैं कि $\cot^{-1}(-\cot(x)) = \pi - \cot^{-1}(\cot(x))$ । चूंकि $1$ रेडियन $0$ और $\pi$ के बीच है, $\cot^{-1}(\cot(1)) = 1$ ।

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