The value of
cot−1(tan(2)1+tan2(2)−1)−cot−1tan(21)1+tan2(21)+1
is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करें
हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1+tan2(θ)=sec2(θ) होती है। इसलिए, 1+tan2(θ) को ∣sec(θ)∣ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि 2 रेडियन लगभग 114.6 डिग्री है, जो दूसरे चतुर्थांश में है, sec(2) ऋणात्मक होगा। इसी प्रकार, 21 रेडियन लगभग 28.6 डिग्री है, जो पहले चतुर्थांश में है, sec(21) धनात्मक होगा।
Step 2: व्यंजकों को सरल करें
अब हम sec(θ) को cos(θ)1 और tan(θ) को cos(θ)sin(θ) के रूप में बदलकर व्यंजकों को सरल करते हैं। पहले पद में, sec(2) ऋणात्मक है, इसलिए 1+tan2(2)=−sec(2) । दूसरे पद में, sec(21) धनात्मक है, इसलिए 1+tan2(21)=sec(21) ।
Step 3: अर्ध-कोण सूत्रों का प्रयोग करें
हम अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हैं: 1+cos(θ)=2cos2(2θ) और sin(θ)=2sin(2θ)cos(2θ) । इन सूत्रों को लागू करने के बाद, हम व्यंजकों को और सरल करते हैं।
Step 4: अंतिम मान ज्ञात करें
हम जानते हैं कि cot−1(−cot(x))=π−cot−1(cot(x)) । चूंकि 1 रेडियन 0 और π के बीच है, cot−1(cot(1))=1 ।