The value of (sin70∘)(cot10∘cot70∘−1) is
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Step-by-Step Solution
Step 1: व्यंजक को सरल करें
हमें दिए गए त्रिकोणमितीय व्यंजक का मान ज्ञात करना है। हम व्यंजक को सरल करके शुरुआत करेंगे।
Step 2: cot को tan में बदलें
हम जानते हैं कि cotθ=tanθ1 होता है। इस पहचान का उपयोग करके, हम cot10∘ और cot70∘ को tan के पदों में बदल सकते हैं।
Step 3: कोष्ठक के अंदर के पदों को संयोजित करें
अब, हम कोष्ठक के अंदर के पदों को एक सामान्य हर पर लाकर संयोजित करते हैं।
Step 4: पूरक कोण पहचान का उपयोग करें
हम जानते हैं कि tan(90∘−θ)=cotθ होता है। यहाँ, हम tan70∘ को tan(90∘−20∘)=cot20∘ के रूप में लिख सकते हैं।
Step 5: आगे सरल करें
हम जानते हैं कि cot70∘=tan(90∘−70∘)=tan20∘ और cot10∘=tan(90∘−10∘)=tan80∘ ।
व्यंजक को फिर से लिखें: sin70∘(cot10∘cot70∘−1) ।
हम जानते हैं कि cotAcotB−1=sinAsinBcosAcosB−sinAsinB=sinAsinBcos(A+B) ।
तो, cot10∘cot70∘−1=sin10∘sin70∘cos(10∘+70∘)=sin10∘sin70∘cos80∘ ।
व्यंजक बन जाता है: sin70∘(sin10∘sin70∘cos80∘)=sin10∘cos80∘ ।
चूंकि cos80∘=cos(90∘−10∘)=sin10∘ ।
इसलिए, sin10∘sin10∘=1 ।