The value of (sin⁡70∘)(cot⁡10∘cot⁡70∘−1)\left( \sin 70^\circ \right) \left( \cot 10^\circ \cot 70^\circ - 1 \right) is

Answer: 11

Step-by-step solution

Step 1: व्यंजक को सरल करें

हमें दिए गए त्रिकोणमितीय व्यंजक का मान ज्ञात करना है। हम व्यंजक को सरल करके शुरुआत करेंगे।

Step 2: cot को tan में बदलें

हम जानते हैं कि cot⁡θ=1tan⁡θ\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} होता है। इस पहचान का उपयोग करके, हम cot⁡10∘\cot 10^\circ और cot⁡70∘\cot 70^\circ को tan⁡\tan के पदों में बदल सकते हैं।

Step 3: कोष्ठक के अंदर के पदों को संयोजित करें

अब, हम कोष्ठक के अंदर के पदों को एक सामान्य हर पर लाकर संयोजित करते हैं।

Step 4: पूरक कोण पहचान का उपयोग करें

हम जानते हैं कि tan⁡(90∘−θ)=cot⁡θ\tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta होता है। यहाँ, हम tan⁡70∘\tan 70^\circ को tan⁡(90∘−20∘)=cot⁡20∘\tan (90^\circ - 20^\circ) = \cot 20^\circ के रूप में लिख सकते हैं।

Step 5: आगे सरल करें

हम जानते हैं कि cot⁡70∘=tan⁡(90∘−70∘)=tan⁡20∘\cot 70^\circ = \tan (90^\circ - 70^\circ) = \tan 20^\circ और cot⁡10∘=tan⁡(90∘−10∘)=tan⁡80∘\cot 10^\circ = \tan (90^\circ - 10^\circ) = \tan 80^\circ । व्यंजक को फिर से लिखें: sin⁡70∘(cot⁡10∘cot⁡70∘−1)\sin 70^\circ \left( \cot 10^\circ \cot 70^\circ - 1 \right) । हम जानते हैं कि cot⁡Acot⁡B−1=cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡Bsin⁡Asin⁡B=cos⁡(A+B)sin⁡Asin⁡B\cot A \cot B - 1 = \frac{\cos A \cos B - \sin A \sin B}{\sin A \sin B} = \frac{\cos(A+B)}{\sin A \sin B} । तो, cot⁡10∘cot⁡70∘−1=cos⁡(10∘+70∘)sin⁡10∘sin⁡70∘=cos⁡80∘sin⁡10∘sin⁡70∘\cot 10^\circ \cot 70^\circ - 1 = \frac{\cos(10^\circ + 70^\circ)}{\sin 10^\circ \sin 70^\circ} = \frac{\cos 80^\circ}{\sin 10^\circ \sin 70^\circ} । व्यंजक बन जाता है: sin⁡70∘(cos⁡80∘sin⁡10∘sin⁡70∘)=cos⁡80∘sin⁡10∘\sin 70^\circ \left( \frac{\cos 80^\circ}{\sin 10^\circ \sin 70^\circ} \right) = \frac{\cos 80^\circ}{\sin 10^\circ} । चूंकि cos⁡80∘=cos⁡(90∘−10∘)=sin⁡10∘\cos 80^\circ = \cos (90^\circ - 10^\circ) = \sin 10^\circ । इसलिए, sin⁡10∘sin⁡10∘=1\frac{\sin 10^\circ}{\sin 10^\circ} = 1 ।

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