सबसे पहले, हम अंश में दिए गए बहुपद k³ + 6k² + 11k + 6 का गुणनखंडन करेंगे। यह बहुपद (k+1)(k+2)(k+3) के बराबर है।

सबसे पहले, हम अंश में दिए गए बहुपद k³ + 6k² + 11k + 6 का गुणनखंडन करेंगे। यह बहुपद (k+1)(k+2)(k+3) के बराबर है।

सरलीकरण के बाद, मूल योगफल को Σ_k=1^n (1)/(k!) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

जब n → ∞ होता है, तो योगफल अनंत श्रृंखला बन जाता है Σ_k=1^(∞) (1)/(k!)। हम जानते हैं कि e का मैकलॉरिन विस्तार e = Σ_k=0^(∞) (1)/(k!) = (1)/(0!) + (1)/(1!) + (1)/(2!) + होता है। इसलिए, Σ_k=1^(∞) (1)/(k!) = e - (1)/(0!) = e - 1।

जब n → ∞ होता है, तो योगफल अनंत श्रृंखला बन जाता है Σ_k=1^(∞) (1)/(k!)। हम जानते हैं कि e का मैकलॉरिन विस्तार e = Σ_k=0^(∞) (1)/(k!) = (1)/(0!) + (1)/(1!) + (1)/(2!) + होता है। इसलिए, Σ_k=1^(∞) (1)/(k!) = e - (1)/(0!) = e - 1।

The value of $\lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{k^3 + 6k^2 + 11k + 6}{(k+3)!} \right)$ is:

Answer: $e - 1$

Step-by-step solution

Step 1: व्यंजक का गुणनखंडन करें

सबसे पहले, हम अंश में दिए गए बहुपद $k^3 + 6k^2 + 11k + 6$ का गुणनखंडन करेंगे। यह बहुपद $(k+1)(k+2)(k+3)$ के बराबर है।

Step 2: व्यंजक को सरल करें

अब, हम गुणनखंडित अंश को हर $(k+3)!$ से विभाजित करेंगे। हम जानते हैं कि $(k+3)! = (k+3)(k+2)(k+1)k!$ होता है। अंश और हर में समान पदों को रद्द करने पर, हमें $\frac{1}{k!}$ प्राप्त होता है।

Step 3: योगफल को फिर से लिखें

सरलीकरण के बाद, मूल योगफल को $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

Step 4: सीमा का मूल्यांकन करें

जब $n \to \infty$ होता है, तो योगफल अनंत श्रृंखला बन जाता है $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}$ । हम जानते हैं कि $e$ का मैकलॉरिन विस्तार $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots$ होता है। इसलिए, $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} = e - \frac{1}{0!} = e - 1$ ।

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