The value of limn→∞(∑k=1n(k+3)k3+6k2+11k+6!) is:
Get the complete, step-by-step math solution for: "The value of _{n ∞} _{k=1}^n (k³ + 6k² + 11k + 6)/((k+3))! is:". Powered by SolveForX AI math tutor.
Step-by-Step Solution
Step 1: व्यंजक का गुणनखंडन करें
सबसे पहले, हम अंश में दिए गए बहुपद k3+6k2+11k+6 का गुणनखंडन करेंगे। यह बहुपद (k+1)(k+2)(k+3) के बराबर है।
Step 2: व्यंजक को सरल करें
अब, हम गुणनखंडित अंश को हर (k+3)! से विभाजित करेंगे। हम जानते हैं कि (k+3)!=(k+3)(k+2)(k+1)k! होता है। अंश और हर में समान पदों को रद्द करने पर, हमें k1! प्राप्त होता है।
Step 3: योगफल को फिर से लिखें
सरलीकरण के बाद, मूल योगफल को ∑k=1nk1! के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
Step 4: सीमा का मूल्यांकन करें
जब n→∞ होता है, तो योगफल अनंत श्रृंखला बन जाता है ∑k=1∞k1! । हम जानते हैं कि e का मैकलॉरिन विस्तार e=∑k=0∞k1!=01!+11!+21!+… होता है। इसलिए, ∑k=1∞k1!=e−01!=e−1 ।