अब, हमें उन मामलों की पहचान करनी होगी जहाँ चुनी गई तीन संख्याएँ एक बढ़ती हुई ज्यामितीय प्रगति (G.P.) में हैं। मान लीजिए संख्याएँ a, ar, ar² हैं, जहाँ a एक पूर्णांक है और r एक परिमेय संख्या है। चूंकि संख्याएँ पूर्णांक हैं, r को p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ q a और ar का एक भाजक है।

अब, हमें उन मामलों की पहचान करनी होगी जहाँ चुनी गई तीन संख्याएँ एक बढ़ती हुई ज्यामितीय प्रगति (G.P.) में हैं। मान लीजिए संख्याएँ a, ar, ar² हैं, जहाँ a एक पूर्णांक है और r एक परिमेय संख्या है। चूंकि संख्याएँ पूर्णांक हैं, r को p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ q a और ar का एक भाजक है।

हम r के संभावित मानों पर विचार करते हैं। r को p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p > q (बढ़ती G.P. के लिए) और gcd(p,q)=1। हम r के विभिन्न मानों के लिए G.P.s को सूचीबद्ध करते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि ar² ≤ 40।

हम r के संभावित मानों पर विचार करते हैं। r को p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p > q (बढ़ती G.P. के लिए) और gcd(p,q)=1। हम r के विभिन्न मानों के लिए G.P.s को सूचीबद्ध करते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि ar² ≤ 40।

चूंकि संभावना m/n = 13/4940 है और gcd(13, 4940)=1, तो m=13 और n=4940। हम m+n का मान ज्ञात करते हैं।

Three distinct numbers are selected randomly from the set {1,2,3,…,40}. If the probability that the selected numbers are in an increasing G.P. is m/n, gcd(m,n)=1, then m+n is equal to:

Answer: 4953

Step-by-step solution

Step 1: कुल संभावित परिणामों की गणना करें

सबसे पहले, हमें यह निर्धारित करना होगा कि सेट ${1{,}2{,}3,\dots,40}$ से तीन अलग-अलग संख्याएँ चुनने के कुल कितने तरीके हैं। चूंकि संख्याओं का क्रम मायने नहीं रखता है, हम संयोजन सूत्र का उपयोग करते हैं।

Step 2: बढ़ती हुई G.P. में संख्याओं की पहचान करें

अब, हमें उन मामलों की पहचान करनी होगी जहाँ चुनी गई तीन संख्याएँ एक बढ़ती हुई ज्यामितीय प्रगति (G.P.) में हैं। मान लीजिए संख्याएँ $a, ar, ar^2$ हैं, जहाँ $a$ एक पूर्णांक है और $r$ एक परिमेय संख्या है। चूंकि संख्याएँ पूर्णांक हैं, $r$ को $p/q$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $q$ $a$ और $ar$ का एक भाजक है।

Step 3: संभावित G.P.s को सूचीबद्ध करें

हम $r$ के संभावित मानों पर विचार करते हैं। $r$ को $p/q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $p > q$ (बढ़ती G.P. के लिए) और $\text{gcd}(p,q)=1$ । हम $r$ के विभिन्न मानों के लिए G.P.s को सूचीबद्ध करते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि $ar^2 \le 40$ ।

Step 4: अनुकूल परिणामों की गणना करें

हम $r$ के विभिन्न मानों के लिए G.P.s की संख्या की गणना करते हैं: 1. $r=2$ : $(1{,}2{,}4), (2{,}4{,}8), \dots, (10{,}20{,}40)$ - 10 G.P.s 2. $r=3$ : $(1{,}3{,}9), (2{,}6{,}18), (3{,}9{,}27), (4{,}12{,}36)$ - 4 G.P.s 3. $r=4$ : $(1{,}4{,}16), (2{,}8{,}32)$ - 2 G.P.s 4. $r=5$ : $(1{,}5{,}25)$ - 1 G.P. 5. $r=6$ : $(1{,}6{,}36)$ - 1 G.P. 6. $r=3/2$ : $(4{,}6{,}9), (8{,}12{,}18), (12{,}18{,}27), (16{,}24{,}36)$ - 4 G.P.s 7. $r=4/3$ : $(9{,}12{,}16), (18{,}24{,}32)$ - 2 G.P.s 8. $r=5/2$ : $(4{,}10{,}25)$ - 1 G.P. 9. $r=5/3$ : $(9{,}15{,}25)$ - 1 G.P. 10. $r=7/2$ : $(4{,}14{,}49)$ - 0 G.P.s (क्योंकि $49 > 40$ ) 11. $r=7/3$ : $(9{,}21{,}49)$ - 0 G.P.s 12. $r=7/4$ : $(16{,}28{,}49)$ - 0 G.P.s 13. $r=8/3$ : $(9{,}24{,}64)$ - 0 G.P.s 14. $r=9/2$ : $(4{,}18{,}81)$ - 0 G.P.s 15. $r=9/4$ : $(16{,}36{,}81)$ - 0 G.P.s 16. $r=9/5$ : $(25{,}45{,}81)$ - 0 G.P.s 17. $r=10/3$ : $(9{,}30{,}100)$ - 0 G.P.s कुल अनुकूल परिणाम $M = 10 + 4 + 2 + 1 + 1 + 4 + 2 + 1 + 1 = 26$ । पुनर्गणना: $r=2$ के लिए 10 G.P.s। $r=3$ के लिए 4 G.P.s। $r=4$ के लिए 2 G.P.s। $r=5$ के लिए 1 G.P.। $r=6$ के लिए 1 G.P.। $r=3/2$ : $a=4{,}6{,}8{,}10{,}12{,}14{,}16{,}18{,}20{,}22{,}24{,}26$ . $a(3/2)^2 = a(9/4) \le 40 \implies a \le 40 \times 4/9 = 160/9 = 17.77$ . $a$ 4 का गुणज होना चाहिए। $a=4{,}8{,}12{,}16$ . 4 G.P.s। $r=4/3$ : $a(16/9) \le 40 \implies a \le 40 \times 9/16 = 10 \times 9/4 = 90/4 = 22.5$ . $a$ 9 का गुणज होना चाहिए। $a=9{,}18$ . 2 G.P.s। $r=5/2$ : $a(25/4) \le 40 \implies a \le 40 \times 4/25 = 8 \times 4/5 = 32/5 = 6.4$ . $a$ 4 का गुणज होना चाहिए। $a=4$ . 1 G.P.। $r=5/3$ : $a(25/9) \le 40 \implies a \le 40 \times 9/25 = 8 \times 9/5 = 72/5 = 14.4$ . $a$ 9 का गुणज होना चाहिए। $a=9$ . 1 G.P.। कुल अनुकूल परिणाम $M = 10 + 4 + 2 + 1 + 1 + 4 + 2 + 1 + 1 = 26$ ।

Step 5: संभावना की गणना करें

अब हम अनुकूल परिणामों की संख्या को कुल संभावित परिणामों की संख्या से विभाजित करके संभावना की गणना करते हैं।

Step 6: $m+n$ की गणना करें

चूंकि संभावना $m/n = 13/4940$ है और $\text{gcd}(13, 4940)=1$ , तो $m=13$ और $n=4940$ । हम $m+n$ का मान ज्ञात करते हैं।

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