यदि कोई रेखा एक △ABC की भुजाओं AB और AC को क्रमश: D और E पर प्रतिच्छेद करे तथा भुजा BC के समांतर हो, तो सिद्ध कीजिए कि ABAD=ACAE होगा (देखिए आकृति 6.13)।
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Step-by-Step Solution
Step 1: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) का प्रयोग करें
प्रश्न में दिया गया है कि रेखा DE भुजा BC के समांतर है। आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (जो थेल्स प्रमेय के नाम से भी जानी जाती है) के अनुसार, यदि एक रेखा त्रिभुज की एक भुजा के समांतर हो और अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करे, तो वह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।
Step 2: व्युत्क्रम करें और 1 जोड़ें
समीकरण को दोनों तरफ व्युत्क्रम करने पर हमें ADDB=AEEC मिलता है। अब, हम समीकरण के दोनों पक्षों में 1 जोड़ते हैं ताकि हम पूरी भुजाओं AB और AC के साथ अनुपात प्राप्त कर सकें।
Step 3: अनुपातों को सरल करें
जब हम भिन्न को जोड़ते हैं, तो हमें ADDB+AD प्राप्त होता है, जो ADAB के बराबर है क्योंकि AD+DB=AB । इसी तरह, दूसरे पक्ष पर, हमें AEEC+AE प्राप्त होता है, जो AEAC के बराबर है क्योंकि AE+EC=AC ।
Step 4: अंतिम अनुपात प्राप्त करें
अंतिम चरण में, हम समीकरण के दोनों पक्षों को फिर से व्युत्क्रम करते हैं। यह हमें वह अनुपात देता है जिसे हमें सिद्ध करना था: ABAD=ACAE ।