यदि कोई रेखा एक $\triangle ABC$ की भुजाओं AB और AC को क्रमश: D और E पर प्रतिच्छेद करे तथा भुजा BC के समांतर हो, तो सिद्ध कीजिए कि $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ होगा (देखिए आकृति 6.13)।

Answer: हमने सिद्ध किया है कि यदि कोई रेखा $\triangle ABC$ की भुजाओं AB और AC को D और E पर प्रतिच्छेद करती है और भुजा BC के समांतर है, तो $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ ।

Step-by-step solution

Step 1: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) का प्रयोग करें

प्रश्न में दिया गया है कि रेखा DE भुजा BC के समांतर है। आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (जो थेल्स प्रमेय के नाम से भी जानी जाती है) के अनुसार, यदि एक रेखा त्रिभुज की एक भुजा के समांतर हो और अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करे, तो वह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।

Step 2: व्युत्क्रम करें और 1 जोड़ें

समीकरण को दोनों तरफ व्युत्क्रम करने पर हमें $\frac{DB}{AD} = \frac{EC}{AE}$ मिलता है। अब, हम समीकरण के दोनों पक्षों में 1 जोड़ते हैं ताकि हम पूरी भुजाओं AB और AC के साथ अनुपात प्राप्त कर सकें।

Step 3: अनुपातों को सरल करें

जब हम भिन्न को जोड़ते हैं, तो हमें $\frac{DB + AD}{AD}$ प्राप्त होता है, जो $\frac{AB}{AD}$ के बराबर है क्योंकि $AD + DB = AB$ । इसी तरह, दूसरे पक्ष पर, हमें $\frac{EC + AE}{AE}$ प्राप्त होता है, जो $\frac{AC}{AE}$ के बराबर है क्योंकि $AE + EC = AC$ ।

Step 4: अंतिम अनुपात प्राप्त करें

अंतिम चरण में, हम समीकरण के दोनों पक्षों को फिर से व्युत्क्रम करते हैं। यह हमें वह अनुपात देता है जिसे हमें सिद्ध करना था: $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ ।

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