△ACB लीजिए जिसका कोण C समकोण है जिसमें AB=29 इकाई, BC=21 इकाई और ∠ABC=θ हैं तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए: (i) cos2θ+sin2θ, (ii) cos2θ−sin2θ ।
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Step-by-Step Solution
Step 1: त्रिकोण की भुजा AC ज्ञात करें
एक समकोण त्रिभुज △ACB में, जहाँ ∠C समकोण है, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अज्ञात भुजा AC की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि AC2+BC2=AB2 । हमें AB=29 इकाई और BC=21 इकाई दिया गया है।
Step 2: AC की लंबाई की गणना करें
दिए गए मानों को पाइथागोरस प्रमेय में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास AC2+212=292 है। अब, AC के मान के लिए हल करने पर AC=292−212 प्राप्त होता है।
Step 3: वर्गों का मूल्यांकन करें
29 का वर्ग 841 है और 21 का वर्ग 441 है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें वर्गमूल के अंदर 841−441 प्राप्त होता है।
Step 4: AC के लिए घटाना और वर्गमूल ज्ञात करें
841 में से 441 घटाने पर 400 प्राप्त होता है। 400 का वर्गमूल 20 है। इसलिए, भुजा AC की लंबाई 20 इकाई है।
Step 5: कोण θ के लिए sinθ ज्ञात करें
समकोण त्रिभुज में, कोण θ के लिए sinθ विपरीत भुजा (लंब) और कर्ण का अनुपात है। यहाँ, ∠ABC=θ के लिए विपरीत भुजा AC=20 और कर्ण AB=29 है।
Step 6: कोण θ के लिए cosθ ज्ञात करें
समकोण त्रिभुज में, कोण θ के लिए cosθ आसन्न भुजा (आधार) और कर्ण का अनुपात है। यहाँ, ∠ABC=θ के लिए आसन्न भुजा BC=21 और कर्ण AB=29 है।
Step 7: (i) cos2θ+sin2θ का मान ज्ञात करें
अब हम sinθ और cosθ के मानों का उपयोग करके cos2θ+sin2θ का मूल्यांकन करेंगे। ज्ञात सूत्र के अनुसार, यह मान 1 के बराबर होना चाहिए।
Step 8: वर्गों का मूल्यांकन करें और जोड़ें
(21/29)2=441/841 और (20/29)2=400/841 है। इन्हें जोड़ने पर (441+400)/841=841/841=1 प्राप्त होता है।
Step 9: (ii) cos2θ−sin2θ का मान ज्ञात करें
अब हम sinθ और cosθ के मानों का उपयोग करके cos2θ−sin2θ का मूल्यांकन करेंगे।
Step 10: वर्गों का मूल्यांकन करें और घटाएं
(21/29)2=441/841 और (20/29)2=400/841 है। इन्हें घटाने पर (441−400)/841=41/841 प्राप्त होता है।