$\triangle ACB$ लीजिए जिसका कोण C समकोण है जिसमें $AB = 29$ इकाई, $BC = 21$ इकाई और $\angle ABC = \theta$ हैं तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए: (i) $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta$, (ii) $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ ।

Step 1: त्रिकोण की भुजा AC ज्ञात करें

एक समकोण त्रिभुज $\triangle ACB$ में, जहाँ $\angle C$ समकोण है, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अज्ञात भुजा $AC$ की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि $AC^2 + BC^2 = AB^2$ । हमें $AB = 29$ इकाई और $BC = 21$ इकाई दिया गया है।

Step 2: AC की लंबाई की गणना करें

दिए गए मानों को पाइथागोरस प्रमेय में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास $AC^2 + 21^2 = 29^2$ है। अब, $AC$ के मान के लिए हल करने पर $AC = \sqrt{29^2 - 21^2}$ प्राप्त होता है।

Step 3: वर्गों का मूल्यांकन करें

$29$ का वर्ग $841$ है और $21$ का वर्ग $441$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें वर्गमूल के अंदर $841 - 441$ प्राप्त होता है।

Step 4: AC के लिए घटाना और वर्गमूल ज्ञात करें

$841$ में से $441$ घटाने पर $400$ प्राप्त होता है। $400$ का वर्गमूल $20$ है। इसलिए, भुजा $AC$ की लंबाई $20$ इकाई है।

Step 5: कोण $\theta$ के लिए $\sin \theta$ ज्ञात करें

समकोण त्रिभुज में, कोण $\theta$ के लिए $\sin \theta$ विपरीत भुजा (लंब) और कर्ण का अनुपात है। यहाँ, $\angle ABC = \theta$ के लिए विपरीत भुजा $AC = 20$ और कर्ण $AB = 29$ है।

Step 6: कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta$ ज्ञात करें

समकोण त्रिभुज में, कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta$ आसन्न भुजा (आधार) और कर्ण का अनुपात है। यहाँ, $\angle ABC = \theta$ के लिए आसन्न भुजा $BC = 21$ और कर्ण $AB = 29$ है।

Step 7: (i) $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta$ का मान ज्ञात करें

अब हम $\sin \theta$ और $\cos \theta$ के मानों का उपयोग करके $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta$ का मूल्यांकन करेंगे। ज्ञात सूत्र के अनुसार, यह मान $1$ के बराबर होना चाहिए।

Step 8: वर्गों का मूल्यांकन करें और जोड़ें

$(21/29)^2 = 441/841$ और $(20/29)^2 = 400/841$ है। इन्हें जोड़ने पर $(441 + 400)/841 = 841/841 = 1$ प्राप्त होता है।

Step 9: (ii) $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ का मान ज्ञात करें

अब हम $\sin \theta$ और $\cos \theta$ के मानों का उपयोग करके $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ का मूल्यांकन करेंगे।

Step 10: वर्गों का मूल्यांकन करें और घटाएं

$(21/29)^2 = 441/841$ और $(20/29)^2 = 400/841$ है। इन्हें घटाने पर $(441 - 400)/841 = 41/841$ प्राप्त होता है।

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