Two balls are selected at random one by one without replacement from a bag containing 4 white and 6 black balls. If the probability that the first selected ball is black, given that the second selected ball is also black, is nm, where gcd(m,n)=1, then m + n is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: घटनाओं को परिभाषित करें
सबसे पहले, हम उन घटनाओं को परिभाषित करते हैं जो समस्या में वर्णित हैं। W1 पहली गेंद के सफेद होने की घटना को दर्शाता है, B1 पहली गेंद के काली होने की घटना को दर्शाता है। इसी तरह, W2 और B2 दूसरी गेंद के सफेद या काली होने की घटनाओं को दर्शाते हैं।
Step 2: कुल गेंदों की संख्या और काली गेंदों की संख्या ज्ञात करें
बैग में कुल गेंदों की संख्या 4 सफेद और 6 काली गेंदों का योग है, जो 10 गेंदें हैं। काली गेंदों की संख्या 6 है।
Step 3: दूसरी गेंद के काली होने की प्रायिकता ज्ञात करें
दूसरी गेंद के काली होने की प्रायिकता P(B2) को दो परस्पर अनन्य घटनाओं के योग के रूप में पाया जा सकता है: पहली गेंद काली है और दूसरी गेंद काली है (B1∩B2), या पहली गेंद सफेद है और दूसरी गेंद काली है (W1∩B2)। हम प्रत्येक घटना की प्रायिकता की गणना करते हैं और उन्हें जोड़ते हैं।
Step 4: पहली गेंद के काली होने की प्रायिकता ज्ञात करें, यह देखते हुए कि दूसरी गेंद भी काली है
हम सशर्त प्रायिकता सूत्र का उपयोग करते हैं: P(B1∣B2)=P(B2)P(B1∩B2) । हमने पिछले चरणों में P(B1∩B2) और P(B2) की गणना की है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर हमें आवश्यक प्रायिकता प्राप्त होती है।
Step 5: m+n का मान ज्ञात करें
दी गई प्रायिकता nm=95 है। चूंकि 5 और 9 सह-अभाज्य हैं (उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है), तो m=5 और n=9 । अंत में, हम m और n का योग ज्ञात करते हैं।