Two balls are selected at random one by one without replacement from a bag containing 4 white and 6 black balls. If the probability that the first selected ball is black, given that the second selected ball is also black, is mn\frac{m}{n}, where gcd⁡(m,n)=1\gcd(m, n) = 1, then m+nm + n is equal to:

Answer: 14

Step-by-step solution

Step 1: घटनाओं को परिभाषित करें

सबसे पहले, हम उन घटनाओं को परिभाषित करते हैं जो समस्या में वर्णित हैं। W1W_1 पहली गेंद के सफेद होने की घटना को दर्शाता है, B1B_1 पहली गेंद के काली होने की घटना को दर्शाता है। इसी तरह, W2W_2 और B2B_2 दूसरी गेंद के सफेद या काली होने की घटनाओं को दर्शाते हैं।

Step 2: कुल गेंदों की संख्या और काली गेंदों की संख्या ज्ञात करें

बैग में कुल गेंदों की संख्या 4 सफेद और 6 काली गेंदों का योग है, जो 10 गेंदें हैं। काली गेंदों की संख्या 6 है।

Step 3: दूसरी गेंद के काली होने की प्रायिकता ज्ञात करें

दूसरी गेंद के काली होने की प्रायिकता P(B2)P(B_2) को दो परस्पर अनन्य घटनाओं के योग के रूप में पाया जा सकता है: पहली गेंद काली है और दूसरी गेंद काली है (B1∩B2B_1 \cap B_2), या पहली गेंद सफेद है और दूसरी गेंद काली है (W1∩B2W_1 \cap B_2)। हम प्रत्येक घटना की प्रायिकता की गणना करते हैं और उन्हें जोड़ते हैं।

Step 4: पहली गेंद के काली होने की प्रायिकता ज्ञात करें, यह देखते हुए कि दूसरी गेंद भी काली है

हम सशर्त प्रायिकता सूत्र का उपयोग करते हैं: P(B1∣B2)=P(B1∩B2)P(B2)P(B_1|B_2) = \frac{P(B_1 \cap B_2)}{P(B_2)} । हमने पिछले चरणों में P(B1∩B2)P(B_1 \cap B_2) और P(B2)P(B_2) की गणना की है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर हमें आवश्यक प्रायिकता प्राप्त होती है।

Step 5: m+nm+n का मान ज्ञात करें

दी गई प्रायिकता mn=59\frac{m}{n} = \frac{5}{9} है। चूंकि 55 और 99 सह-अभाज्य हैं (उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है), तो m=5m=5 और n=9n=9 । अंत में, हम mm और nn का योग ज्ञात करते हैं।

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