नीचे दी हुई सारणी भारत के विभिन्न राज्यों एवं संघीय क्षेत्रों (union territories) के ग्रामीण क्षेत्रों के प्राथमिक विद्यालयों में, महिला शिक्षकों के प्रतिशत बंटन को दर्शाती है। इस अनुच्छेद में चर्चित तीनों विधियों से महिला शिक्षकों का माध्य प्रतिशत ज्ञात कीजिए। $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{महिला शिक्षकों का प्रतिशत} & 15\text{-}25 & 25\text{-}35 & 35\text{-}45 & 45\text{-}55 & 55\text{-}65 & 65\text{-}75 & 75\text{-}85 \\ \hline \text{राज्यों/संघीय क्षेत्रों की संख्या} & 6 & 11 & 7 & 4 & 4 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}$ (स्रोत: एन.सी.ई.आर.टी द्वारा किया गया सातवाँ अखिल भारतीय स्कूल शिक्षा सर्वे)

Step 1: प्रत्यक्ष विधि: वर्ग चिह्न ज्ञात करना

माध्य ज्ञात करने के लिए, हमें प्रत्येक वर्ग अंतराल का वर्ग चिह्न ($x_i$) ज्ञात करना होगा। वर्ग चिह्न वर्ग अंतराल के मध्य बिंदु को दर्शाता है। इसे उच्च वर्ग सीमा और निम्न वर्ग सीमा को जोड़कर और फिर 2 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।

Step 2: प्रत्यक्ष विधि: $f_i x_i$ ज्ञात करना

प्रत्येक वर्ग के लिए, हम राज्यों/संघीय क्षेत्रों की संख्या ($f_i$) को संगत वर्ग चिह्न ($x_i$) से गुणा करते हैं। फिर हम इन सभी उत्पादों ($f_i x_i$) का योग ($\sum f_i x_i$) ज्ञात करते हैं। $f_i x_i$ के मान इस प्रकार हैं: $6 \times 20 = 120$, $11 \times 30 = 330$, $7 \times 40 = 280$, $4 \times 50 = 200$, $4 \times 60 = 240$, $2 \times 70 = 140$, $1 \times 80 = 80$ ।

Step 3: प्रत्यक्ष विधि: माध्य ज्ञात करना

प्रत्यक्ष विधि द्वारा माध्य ज्ञात करने का सूत्र $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ है। हमने $\sum f_i x_i = 1390$ और $\sum f_i = 35$ (राज्यों/संघीय क्षेत्रों की कुल संख्या) की गणना की है। अब, हम माध्य ज्ञात करने के लिए इन मानों को प्रतिस्थापित करेंगे।

Step 4: कल्पित माध्य विधि: कल्पित माध्य $(A)$ और विचलन $(d_i)$ का चयन

कल्पित माध्य विधि में, हम एक कल्पित माध्य ($A$) चुनते हैं, जो आमतौर पर वर्ग चिह्नों ($x_i$) के बीच से सबसे मध्य मान होता है। यहां, हम $A = 50$ चुनते हैं। फिर हम प्रत्येक वर्ग चिह्न के लिए विचलन $d_i = x_i - A$ की गणना करते हैं।

Step 5: कल्पित माध्य विधि: $f_i d_i$ ज्ञात करना

प्रत्येक वर्ग के लिए, हम बारंबारता ($f_i$) को संगत विचलन ($d_i$) से गुणा करते हैं। फिर हम इन सभी उत्पादों ($f_i d_i$) का योग ($\sum f_i d_i$) ज्ञात करते हैं। $f_i d_i$ के मान इस प्रकार हैं: $6 \times -30 = -180$, $11 \times -20 = -220$, $7 \times -10 = -70$, $4 \times 0 = 0$, $4 \times 10 = 40$, $2 \times 20 = 40$, $1 \times 30 = 30$ ।

Step 6: कल्पित माध्य विधि: माध्य ज्ञात करना

कल्पित माध्य विधि द्वारा माध्य ज्ञात करने का सूत्र $\bar{x} = A + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$ है। हमने $A = 50$, $\sum f_i d_i = -360$ और $\sum f_i = 35$ की गणना की है। हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित कर माध्य ज्ञात करेंगे।

Step 7: पद विचलन विधि: वर्ग माप $(h)$ और विचलन $(u_i)$ का चयन

पद विचलन विधि में, हम एक वर्ग माप ($h$) चुनते हैं, जो वर्ग अंतरालों की चौड़ाई होती है। यहां, $h = 10$ । फिर हम प्रत्येक वर्ग चिह्न के लिए पद विचलन $u_i = \frac{x_i - A}{h}$ की गणना करते हैं, जहाँ $A$ कल्पित माध्य है (जैसा कि पहले चुना गया $A = 50$)।

Step 8: पद विचलन विधि: $f_i u_i$ ज्ञात करना

प्रत्येक वर्ग के लिए, हम बारंबारता ($f_i$) को संगत पद विचलन ($u_i$) से गुणा करते हैं। फिर हम इन सभी उत्पादों ($f_i u_i$) का योग ($\sum f_i u_i$) ज्ञात करते हैं। $f_i u_i$ के मान इस प्रकार हैं: $6 \times -3 = -18$, $11 \times -2 = -22$, $7 \times -1 = -7$, $4 \times 0 = 0$, $4 \times 1 = 4$, $2 \times 2 = 4$, $1 \times 3 = 3$ ।

Step 9: पद विचलन विधि: माध्य ज्ञात करना

पद विचलन विधि द्वारा माध्य ज्ञात करने का सूत्र $\bar{x} = A + \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right) h$ है। हमने $A = 50$, $h = 10$, $\sum f_i u_i = -36$ और $\sum f_i = 35$ की गणना की है। हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित कर माध्य ज्ञात करेंगे।

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