Use Laplace transforms to solve: y'' + 4y = δ(t-π), y(0)=0, y'(0)=0, where δ is the Dirac delta function.
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Step-by-Step Solution
Step 1: लैपलेस ट्रांसफॉर्म लागू करें
हम दिए गए अवकल समीकरण के दोनों पक्षों पर लैपलेस ट्रांसफॉर्म लागू करते हैं। यह हमें समीकरण को s -डोमेन में बदलने की अनुमति देता है, जिससे इसे हल करना आसान हो जाता है।
Step 2: लैपलेस ट्रांसफॉर्म गुणों का उपयोग करें
हम अवकलज के लैपलेस ट्रांसफॉर्म गुणों का उपयोग करते हैं: L{y′′}=s2Y(s)−sy(0)−y′(0) और डिराक डेल्टा फंक्शन के लिए L{δ(t−a)}=e−as । प्रारंभिक शर्तों y(0)=0 और y′(0)=0 को प्रतिस्थापित करें।
Step 3: Y(s) के लिए हल करें
प्रारंभिक शर्तों को प्रतिस्थापित करने के बाद, हम Y(s) के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं। यह हमें s -डोमेन में हल किए गए समीकरण का प्रतिनिधित्व देता है।
Step 4: व्युत्क्रम लैपलेस ट्रांसफॉर्म लागू करें
अब, हम y(t) प्राप्त करने के लिए Y(s) का व्युत्क्रम लैपलेस ट्रांसफॉर्म लेते हैं। यह हमें मूल अवकल समीकरण का हल देता है।
Step 5: शिफ्टिंग प्रमेय का उपयोग करें
हम जानते हैं कि L−1{s2+a2a}=sin(at) । यहाँ a=2 है। इसलिए, हम s2+41 के व्युत्क्रम लैपलेस ट्रांसफॉर्म की गणना करते हैं।
Step 6: अंतिम हल प्राप्त करें
दूसरे शिफ्टिंग प्रमेय का उपयोग करते हुए, L−1{e−asF(s)}=u(t−a)f(t−a), जहाँ F(s)=s2+41 और a=π है। u(t−π) हेविसाइड स्टेप फंक्शन है।