हम अवकलज के लैपलेस ट्रांसफॉर्म गुणों का उपयोग करते हैं: Ly'' = s²Y(s) - sy(0) - y'(0) और डिराक डेल्टा फंक्शन के लिए L (t-a) = e^(-as)। प्रारंभिक शर्तों y(0)=0 और y'(0)=0 को प्रतिस्थापित करें।

हम अवकलज के लैपलेस ट्रांसफॉर्म गुणों का उपयोग करते हैं: Ly'' = s²Y(s) - sy(0) - y'(0) और डिराक डेल्टा फंक्शन के लिए L (t-a) = e^(-as)। प्रारंभिक शर्तों y(0)=0 और y'(0)=0 को प्रतिस्थापित करें।

हम जानते हैं कि L^(-1) (a)/(s² + a²) = sin(at)। यहाँ a=2 है। इसलिए, हम (1)/(s²+4) के व्युत्क्रम लैपलेस ट्रांसफॉर्म की गणना करते हैं।

हम जानते हैं कि L^(-1) (a)/(s² + a²) = sin(at)। यहाँ a=2 है। इसलिए, हम (1)/(s²+4) के व्युत्क्रम लैपलेस ट्रांसफॉर्म की गणना करते हैं।

दूसरे शिफ्टिंग प्रमेय का उपयोग करते हुए, L^(-1)e^(-as)F(s) = u(t-a)f(t-a), जहाँ F(s) = (1)/(s²+4) और a=π है। u(t-π) हेविसाइड स्टेप फंक्शन है।

दूसरे शिफ्टिंग प्रमेय का उपयोग करते हुए, L^(-1)e^(-as)F(s) = u(t-a)f(t-a), जहाँ F(s) = (1)/(s²+4) और a=π है। u(t-π) हेविसाइड स्टेप फंक्शन है।

Use Laplace transforms to solve: y'' + 4y = δ(t-π), y(0)=0, y'(0)=0, where δ is the Dirac delta function.

Answer: $y(t) = \frac{1}{2} u(t-\pi) \sin(2(t-\pi))$

Step-by-step solution

Step 1: लैपलेस ट्रांसफॉर्म लागू करें

हम दिए गए अवकल समीकरण के दोनों पक्षों पर लैपलेस ट्रांसफॉर्म लागू करते हैं। यह हमें समीकरण को $s$ -डोमेन में बदलने की अनुमति देता है, जिससे इसे हल करना आसान हो जाता है।

Step 2: लैपलेस ट्रांसफॉर्म गुणों का उपयोग करें

हम अवकलज के लैपलेस ट्रांसफॉर्म गुणों का उपयोग करते हैं: $\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$ और डिराक डेल्टा फंक्शन के लिए $\mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = e^{-as}$ । प्रारंभिक शर्तों $y(0)=0$ और $y'(0)=0$ को प्रतिस्थापित करें।

Step 3: $Y(s)$ के लिए हल करें

प्रारंभिक शर्तों को प्रतिस्थापित करने के बाद, हम $Y(s)$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं। यह हमें $s$ -डोमेन में हल किए गए समीकरण का प्रतिनिधित्व देता है।

Step 4: व्युत्क्रम लैपलेस ट्रांसफॉर्म लागू करें

अब, हम $y(t)$ प्राप्त करने के लिए $Y(s)$ का व्युत्क्रम लैपलेस ट्रांसफॉर्म लेते हैं। यह हमें मूल अवकल समीकरण का हल देता है।

Step 5: शिफ्टिंग प्रमेय का उपयोग करें

हम जानते हैं कि $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{a}{s^2 + a^2}\right\} = \sin(at)$ । यहाँ $a=2$ है। इसलिए, हम $\frac{1}{s^2+4}$ के व्युत्क्रम लैपलेस ट्रांसफॉर्म की गणना करते हैं।

Step 6: अंतिम हल प्राप्त करें

दूसरे शिफ्टिंग प्रमेय का उपयोग करते हुए, $\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\} = u(t-a)f(t-a)$ , जहाँ $F(s) = \frac{1}{s^2+4}$ और $a=\pi$ है। $u(t-\pi)$ हेविसाइड स्टेप फंक्शन है।

Solve your own maths question free →