Use Stokes' theorem to evaluate ∮_C F⃗ · dr⃗ where F⃗ = (y², xz, z²y) and C is the intersection of x² + y² = 1 and z=x+y.
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Step-by-Step Solution
Step 1: स्टोक्स प्रमेय का कथन
स्टोक्स प्रमेय एक सदिश क्षेत्र के एक बंद वक्र पर रेखा समाकल को एक सतह पर कर्ल के सतह समाकल से संबंधित करता है। यहाँ, C बंद वक्र है और S वह सतह है जिसकी सीमा C है।
Step 2: कर्ल ∇×F की गणना करें
सबसे पहले, हम दिए गए सदिश क्षेत्र F=(y2,xz,z2y) का कर्ल ज्ञात करते हैं। कर्ल एक सदिश संकारक है जो सदिश क्षेत्र के घूर्णन की मात्रा को मापता है।
Step 3: सतह S का प्राचलीकरण करें
सतह S z=x+y द्वारा परिभाषित एक समतल है, जिसकी सीमा x2+y2=1 है। हम इस सतह को बेलनाकार निर्देशांकों का उपयोग करके प्राचलीकृत कर सकते हैं। चूंकि x2+y2=1 एक इकाई वृत्त है, हम r=1 ले सकते हैं।
Step 4: सतह के लिए सामान्य सदिश dS ज्ञात करें
सतह समाकल की गणना करने के लिए, हमें सतह के लिए एक सामान्य सदिश dS की आवश्यकता होती है। हम इसे rx×ry के रूप में ज्ञात करते हैं, जहाँ r(x,y) सतह का सदिश प्रतिनिधित्व है।
Step 5: डॉट्स उत्पाद (∇×F)⋅dS की गणना करें
अब हम कर्ल और सामान्य सदिश का डॉट उत्पाद लेते हैं। हम z=x+y को प्रतिस्थापित करते हैं।
Step 6: सतह समाकल का मूल्यांकन करें
हम z=x+y को प्रतिस्थापित करते हैं और समाकल को सरल बनाते हैं। ध्रुवीय निर्देशांकों में, x=rcosθ, y=rsinθ, dA=rdrdθ और x2+y2=r2 । चूंकि C इकाई वृत्त है, r 0 से 1 तक और θ 0 से 2π तक जाता है।
Step 7: ध्रुवीय निर्देशांकों में समाकल का मूल्यांकन करें
हम ध्रुवीय निर्देशांकों में समाकल का मूल्यांकन करते हैं। sin(2θ) और cosθ के समाकल 0 से 2π तक 0 होते हैं।