सबसे पहले, हम दिए गए सदिश क्षेत्र F = (y², xz, z²y) का कर्ल ज्ञात करते हैं। कर्ल एक सदिश संकारक है जो सदिश क्षेत्र के घूर्णन की मात्रा को मापता है।

सबसे पहले, हम दिए गए सदिश क्षेत्र F = (y², xz, z²y) का कर्ल ज्ञात करते हैं। कर्ल एक सदिश संकारक है जो सदिश क्षेत्र के घूर्णन की मात्रा को मापता है।

सतह समाकल की गणना करने के लिए, हमें सतह के लिए एक सामान्य सदिश d S की आवश्यकता होती है। हम इसे r_x × r_y के रूप में ज्ञात करते हैं, जहाँ r(x,y) सतह का सदिश प्रतिनिधित्व है।

सतह समाकल की गणना करने के लिए, हमें सतह के लिए एक सामान्य सदिश d S की आवश्यकता होती है। हम इसे r_x × r_y के रूप में ज्ञात करते हैं, जहाँ r(x,y) सतह का सदिश प्रतिनिधित्व है।

हम z = x+y को प्रतिस्थापित करते हैं और समाकल को सरल बनाते हैं। ध्रुवीय निर्देशांकों में, x = rcosθ, y = rsinθ, dA = r dr dθ और x²+y²=r²। चूंकि C इकाई वृत्त है, r 0 से 1 तक और θ 0 से 2π तक जाता है।

हम z = x+y को प्रतिस्थापित करते हैं और समाकल को सरल बनाते हैं। ध्रुवीय निर्देशांकों में, x = rcosθ, y = rsinθ, dA = r dr dθ और x²+y²=r²। चूंकि C इकाई वृत्त है, r 0 से 1 तक और θ 0 से 2π तक जाता है।

हम ध्रुवीय निर्देशांकों में समाकल का मूल्यांकन करते हैं। sin(2θ) और cosθ के समाकल 0 से 2π तक 0 होते हैं।

हम ध्रुवीय निर्देशांकों में समाकल का मूल्यांकन करते हैं। sin(2θ) और cosθ के समाकल 0 से 2π तक 0 होते हैं।

Use Stokes' theorem to evaluate ∮_C F⃗ · dr⃗ where F⃗ = (y², xz, z²y) and C is the intersection of x² + y² = 1 and $z = x + y$ .

Answer: $-\frac{\pi}{2}$

Step-by-step solution

Step 1: स्टोक्स प्रमेय का कथन

स्टोक्स प्रमेय एक सदिश क्षेत्र के एक बंद वक्र पर रेखा समाकल को एक सतह पर कर्ल के सतह समाकल से संबंधित करता है। यहाँ, $C$ बंद वक्र है और $S$ वह सतह है जिसकी सीमा $C$ है।

Step 2: कर्ल $\nabla \times \vec{F}$ की गणना करें

सबसे पहले, हम दिए गए सदिश क्षेत्र $\vec{F} = (y^2, xz, z^2y)$ का कर्ल ज्ञात करते हैं। कर्ल एक सदिश संकारक है जो सदिश क्षेत्र के घूर्णन की मात्रा को मापता है।

Step 3: सतह $S$ का प्राचलीकरण करें

सतह $S$ $z = x + y$ द्वारा परिभाषित एक समतल है, जिसकी सीमा $x^2 + y^2 = 1$ है। हम इस सतह को बेलनाकार निर्देशांकों का उपयोग करके प्राचलीकृत कर सकते हैं। चूंकि $x^2 + y^2 = 1$ एक इकाई वृत्त है, हम $r=1$ ले सकते हैं।

Step 4: सतह के लिए सामान्य सदिश $d\vec{S}$ ज्ञात करें

सतह समाकल की गणना करने के लिए, हमें सतह के लिए एक सामान्य सदिश $d\vec{S}$ की आवश्यकता होती है। हम इसे $\vec{r}_x \times \vec{r}_y$ के रूप में ज्ञात करते हैं, जहाँ $\vec{r}(x,y)$ सतह का सदिश प्रतिनिधित्व है।

Step 5: डॉट्स उत्पाद $(\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S}$ की गणना करें

अब हम कर्ल और सामान्य सदिश का डॉट उत्पाद लेते हैं। हम $z = x+y$ को प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 6: सतह समाकल का मूल्यांकन करें

हम $z = x+y$ को प्रतिस्थापित करते हैं और समाकल को सरल बनाते हैं। ध्रुवीय निर्देशांकों में, $x = r\cos\theta$ , $y = r\sin\theta$ , $dA = r dr d\theta$ और $x^2+y^2=r^2$ । चूंकि $C$ इकाई वृत्त है, $r$ 0 से 1 तक और $\theta$ 0 से $2\pi$ तक जाता है।

Step 7: ध्रुवीय निर्देशांकों में समाकल का मूल्यांकन करें

हम ध्रुवीय निर्देशांकों में समाकल का मूल्यांकन करते हैं। $\sin(2\theta)$ और $\cos\theta$ के समाकल $0$ से $2\pi$ तक $0$ होते हैं।

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Use Stokes' theorem to evaluate ∮_C F⃗ · dr⃗ where F⃗ = (y², xz, z²y) and C is the intersection of x² + y² = 1 and z=x+yz = x + yz=x+y.

Step-by-step solution

Step 1: स्टोक्स प्रमेय का कथन

Step 2: कर्ल ∇×F⃗\nabla \times \vec{F}∇×F की गणना करें

Step 3: सतह SSS का प्राचलीकरण करें

Step 4: सतह के लिए सामान्य सदिश dS⃗d\vec{S}dS ज्ञात करें

Step 5: डॉट्स उत्पाद (∇×F⃗)⋅dS⃗(\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S}(∇×F)⋅dS की गणना करें