Using binomial theorem, prove that 6n−5n always leaves remainder 1 when divided by 25 .
Get the complete, step-by-step math solution for: "Using binomial theorem, prove that 6^n-5 n always leaves remainder 1 when divided by 25 .". Powered by SolveForX AI math tutor.
Step-by-Step Solution
Step 1: द्विपद प्रमेय का उपयोग करें
द्विपद प्रमेय हमें (1+x)n के विस्तार के लिए एक सूत्र देता है। हम इस प्रमेय का उपयोग 6n को (1+5)n के रूप में लिखने के लिए करेंगे।
Step 2: 6n का विस्तार करें
हम 6n को (1+5)n के रूप में लिख सकते हैं। अब, हम x=5 के साथ द्विपद प्रमेय का उपयोग करके इसका विस्तार करते हैं।
Step 3: व्यंजक को सरल करें
द्विपद विस्तार के पहले दो पद (0n)=1 और (1n)5=n⋅5=5n हैं। शेष सभी पदों में 52=25 का एक गुणनखंड होता है, जिसे हम उभयनिष्ठ ले सकते हैं।
Step 4: 6n−5n का मान ज्ञात करें
अब हम 6n के विस्तार से 5n घटाते हैं।
Step 5: शेषफल निर्धारित करें
जैसा कि हम देख सकते हैं, 5n पद रद्द हो जाता है, और हमें 1+25×(एक पूर्णांक) मिलता है। इसका मतलब है कि जब 6n−5n को 25 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल हमेशा 1 होता है।