द्विपद विस्तार के पहले दो पद n0 = 1 और n15 = n · 5 = 5n हैं। शेष सभी पदों में 5² = 25 का एक गुणनखंड होता है, जिसे हम उभयनिष्ठ ले सकते हैं।

द्विपद विस्तार के पहले दो पद n0 = 1 और n15 = n · 5 = 5n हैं। शेष सभी पदों में 5² = 25 का एक गुणनखंड होता है, जिसे हम उभयनिष्ठ ले सकते हैं।

जैसा कि हम देख सकते हैं, 5n पद रद्द हो जाता है, और हमें 1 + 25 × (एक पूर्णांक) मिलता है। इसका मतलब है कि जब 6^n - 5n को 25 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल हमेशा 1 होता है।

जैसा कि हम देख सकते हैं, 5n पद रद्द हो जाता है, और हमें 1 + 25 × (एक पूर्णांक) मिलता है। इसका मतलब है कि जब 6^n - 5n को 25 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल हमेशा 1 होता है।

Using binomial theorem, prove that $6^n-5 n$ always leaves remainder 1 when divided by 25 .

Answer: यह सिद्ध हो गया है कि $6^n-5 n$ को 25 से विभाजित करने पर हमेशा शेषफल 1 बचता है।

Step-by-step solution

Step 1: द्विपद प्रमेय का उपयोग करें

द्विपद प्रमेय हमें $(1+x)^n$ के विस्तार के लिए एक सूत्र देता है। हम इस प्रमेय का उपयोग $6^n$ को $(1+5)^n$ के रूप में लिखने के लिए करेंगे।

Step 2: $6^n$ का विस्तार करें

हम $6^n$ को $(1+5)^n$ के रूप में लिख सकते हैं। अब, हम $x=5$ के साथ द्विपद प्रमेय का उपयोग करके इसका विस्तार करते हैं।

Step 3: व्यंजक को सरल करें

द्विपद विस्तार के पहले दो पद $\binom{n}{0} = 1$ और $\binom{n}{1}5 = n \cdot 5 = 5n$ हैं। शेष सभी पदों में $5^2 = 25$ का एक गुणनखंड होता है, जिसे हम उभयनिष्ठ ले सकते हैं।

Step 4: $6^n - 5n$ का मान ज्ञात करें

अब हम $6^n$ के विस्तार से $5n$ घटाते हैं।

Step 5: शेषफल निर्धारित करें

जैसा कि हम देख सकते हैं, $5n$ पद रद्द हो जाता है, और हमें $1 + 25 \times (\text{एक पूर्णांक})$ मिलता है। इसका मतलब है कि जब $6^n - 5n$ को 25 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल हमेशा 1 होता है।

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Using binomial theorem, prove that 6n−5n6^n-5 n6n−5n always leaves remainder 1 when divided by 25 .