दिए गए फलन f(x) = e^x² के लिए, हम u को x² से प्रतिस्थापित करेंगे।

अब, e^u के मैकलॉरिन श्रृंखला में u के स्थान पर x² को प्रतिस्थापित करके, हमें e^x² के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार प्राप्त होता है।

अब, e^u के मैकलॉरिन श्रृंखला में u के स्थान पर x² को प्रतिस्थापित करके, हमें e^x² के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार प्राप्त होता है।

घातों को सरल करने पर, हमें e^x² के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार का अंतिम रूप मिलता है।

घातों को सरल करने पर, हमें e^x² के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार का अंतिम रूप मिलता है।

चूंकि e^u के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला सभी वास्तविक संख्याओं u के लिए अभिसरित होती है, और हमने u = x² को प्रतिस्थापित किया है, तो x² के सभी वास्तविक मानों के लिए श्रृंखला अभिसरित होगी। इसका मतलब है कि x के सभी वास्तविक मानों के लिए श्रृंखला अभिसरित होगी। इसलिए, अभिसरण अंतराल (-∞, ∞) है।

चूंकि e^u के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला सभी वास्तविक संख्याओं u के लिए अभिसरित होती है, और हमने u = x² को प्रतिस्थापित किया है, तो x² के सभी वास्तविक मानों के लिए श्रृंखला अभिसरित होगी। इसका मतलब है कि x के सभी वास्तविक मानों के लिए श्रृंखला अभिसरित होगी। इसलिए, अभिसरण अंतराल (-∞, ∞) है।

VARIATION: Find the Taylor series expansion of f(x) = e^(x²) centered at $x = 0$ and determine its interval of convergence. Find the numerical value if exact solution is not

Answer: फलन $f(x) = e^{x^2}$ का टेलर श्रृंखला विस्तार $x=0$ पर केंद्रित है: $e^{x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \dots$ और इसका अभिसरण अंतराल $(-\infty, \infty)$ है।

Step-by-step solution

Step 1: मानक मैकलॉरिन श्रृंखला का उपयोग करें

हम जानते हैं कि $e^u$ के लिए मानक मैकलॉरिन श्रृंखला (जो $x=0$ पर केंद्रित एक टेलर श्रृंखला है) इस प्रकार दी गई है। यह श्रृंखला सभी वास्तविक संख्याओं के लिए अभिसरित होती है, जिसका अर्थ है कि इसका अभिसरण अंतराल $(-\infty, \infty)$ है।

Step 2: प्रतिस्थापन करें

दिए गए फलन $f(x) = e^{x^2}$ के लिए, हम $u$ को $x^2$ से प्रतिस्थापित करेंगे।

Step 3: श्रृंखला विस्तार ज्ञात करें

अब, $e^u$ के मैकलॉरिन श्रृंखला में $u$ के स्थान पर $x^2$ को प्रतिस्थापित करके, हमें $e^{x^2}$ के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार प्राप्त होता है।

Step 4: श्रृंखला को सरल करें

घातों को सरल करने पर, हमें $e^{x^2}$ के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार का अंतिम रूप मिलता है।

Step 5: अभिसरण अंतराल निर्धारित करें

चूंकि $e^u$ के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला सभी वास्तविक संख्याओं $u$ के लिए अभिसरित होती है, और हमने $u = x^2$ को प्रतिस्थापित किया है, तो $x^2$ के सभी वास्तविक मानों के लिए श्रृंखला अभिसरित होगी। इसका मतलब है कि $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए श्रृंखला अभिसरित होगी। इसलिए, अभिसरण अंतराल $(-\infty, \infty)$ है।

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VARIATION: Find the Taylor series expansion of f(x) = e^(x²) centered at x=0x = 0x=0 and determine its interval of convergence. Find the numerical value if exact solution is not