VARIATION: Find the Taylor series expansion of f(x) = e^(x²) centered at x=0 and determine its interval of convergence. Find the numerical value if exact solution is not
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Step-by-Step Solution
Step 1: मानक मैकलॉरिन श्रृंखला का उपयोग करें
हम जानते हैं कि eu के लिए मानक मैकलॉरिन श्रृंखला (जो x=0 पर केंद्रित एक टेलर श्रृंखला है) इस प्रकार दी गई है। यह श्रृंखला सभी वास्तविक संख्याओं के लिए अभिसरित होती है, जिसका अर्थ है कि इसका अभिसरण अंतराल (−∞,∞) है।
Step 2: प्रतिस्थापन करें
दिए गए फलन f(x)=ex2 के लिए, हम u को x2 से प्रतिस्थापित करेंगे।
Step 3: श्रृंखला विस्तार ज्ञात करें
अब, eu के मैकलॉरिन श्रृंखला में u के स्थान पर x2 को प्रतिस्थापित करके, हमें ex2 के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार प्राप्त होता है।
Step 4: श्रृंखला को सरल करें
घातों को सरल करने पर, हमें ex2 के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार का अंतिम रूप मिलता है।
Step 5: अभिसरण अंतराल निर्धारित करें
चूंकि eu के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला सभी वास्तविक संख्याओं u के लिए अभिसरित होती है, और हमने u=x2 को प्रतिस्थापित किया है, तो x2 के सभी वास्तविक मानों के लिए श्रृंखला अभिसरित होगी। इसका मतलब है कि x के सभी वास्तविक मानों के लिए श्रृंखला अभिसरित होगी। इसलिए, अभिसरण अंतराल (−∞,∞) है।