Which is greater (a-b) or (b-a)² ? Justify your answer
उत्तर: यह (a−b) के मान पर निर्भर करता है: यदि (a−b)<0 या (a−b)>1 है, तो (b−a)2>(a−b); यदि 0<(a−b)<1 है, तो (a−b)>(b−a)2; तथा यदि (a−b)=0 या (a−b)=1 है, तो (a−b)=(b−a)2 होता है।
चरण-दर-चरण हल
चरण 1: व्यंजकों को एक चर में व्यक्त करना
तुलना को सरल बनाने के लिए हम मान लेते हैं कि x=a−b है। चूँकि (b−a)=−(a−b)=−x, इसलिए इसका वर्ग (b−a)2=(−x)2=x2 होगा। अब हमें केवल x और x2 की तुलना करनी है।
चरण 2: व्यंजकों के अंतर का विश्लेषण
यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा मान बड़ा है, हम उनके अंतर (x2−x) का अध्ययन करते हैं। यह मान x=0 तथा x=1 पर शून्य होता है। अतः x के मान के आधार पर विभिन्न स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं।
चरण 3: विभिन्न स्थितियों की तुलना और औचित्य
यदि a−b<0 (अर्थात a<b) या a−b>1 है, तो (b−a)2>(a−b) होता है। यदि 0<a−b<1 है, तो (a−b)>(b−a)2 होता है। अंततः यदि a−b=0 या a−b=1 है, तो दोनों व्यंजक परस्पर बराबर होते हैं।