हम जानते हैं कि (d)/(dx)(c) = 0 (जहाँ c एक स्थिरांक है) और (d)/(dx)(x^n) = nx^{n-1} । इन नियमों का उपयोग करके, हम प्रत्येक पद का अवकलज ज्ञात करते हैं।

हम जानते हैं कि (d)/(dx)(c) = 0 (जहाँ c एक स्थिरांक है) और (d)/(dx)(x^n) = nx^{n-1} । इन नियमों का उपयोग करके, हम प्रत्येक पद का अवकलज ज्ञात करते हैं।

चूंकि 1^n = 1 किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए, प्रत्येक पद 1, 2, 3, 50 बन जाता है।

यह प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग है, जिसका सूत्र (n(n+1))/(2) होता है। यहाँ n=50 है।

$x=1$ पर $f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{50}$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए

हमें दिए गए फलन $f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{50}$ का $x=1$ पर अवकलज ज्ञात करना है। सबसे पहले, हम f(x) का $x$ के सापेक्ष अवकलज f'(x) ज्ञात करेंगे।

Step 2: प्रत्येक पद का अवकलज ज्ञात कीजिए

हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(c) = 0$ (जहाँ $c$ एक स्थिरांक है) और $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ । इन नियमों का उपयोग करके, हम प्रत्येक पद का अवकलज ज्ञात करते हैं।

Step 3: अवकलज को सरल कीजिए

शून्य पद को हटाने के बाद, हमें f'(x) का सरल रूप प्राप्त होता है।

Step 4: $x=1$ पर अवकलज का मान ज्ञात कीजिए

अब, हम $x=1$ पर अवकलज का मान ज्ञात करने के लिए f'(x) में $x=1$ प्रतिस्थापित करेंगे।

Step 5: मानों को सरल कीजिए

चूंकि $1^n = 1$ किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए, प्रत्येक पद $1, 2, 3, \dots, 50$ बन जाता है।

Step 6: योग का सूत्र लागू कीजिए

यह प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं का योग है, जिसका सूत्र $\frac{n(n+1)}{2}$ होता है। यहाँ $n=50$ है।

Step 7: अंतिम मान की गणना कीजिए

सूत्र में $n=50$ का मान रखने पर, हमें $f'(1)$ का अंतिम मान प्राप्त होता है।