एक बिंदु (x_1, y_1) से रेखा Ax + By + C = 0 की दूरी का सूत्र d = {|Ax_1 + By_1 + C|}{√(A² + B²)} है। यहाँ, A=4 , B=3 , C=-12 , x_1=a , y_1=0 , और d=4 है।

एक बिंदु (x_1, y_1) से रेखा Ax + By + C = 0 की दूरी का सूत्र d = {|Ax_1 + By_1 + C|}{√(A² + B²)} है। यहाँ, A=4 , B=3 , C=-12 , x_1=a , y_1=0 , और d=4 है।

दूरी के सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 4 = {|4a + 3(0) - 12|}{√(4² + 3²)} मिलता है। इसे सरल करने पर 4 = {|4a - 12|}{√(25)} प्राप्त होता है, जो 4 = (|4a - 12|)/(5) बन जाता है। दोनों पक्षों को 5 से गुणा करने पर 20 = |4a - 12| मिलता है।

दूरी के सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 4 = {|4a + 3(0) - 12|}{√(4² + 3²)} मिलता है। इसे सरल करने पर 4 = {|4a - 12|}{√(25)} प्राप्त होता है, जो 4 = (|4a - 12|)/(5) बन जाता है। दोनों पक्षों को 5 से गुणा करने पर 20 = |4a - 12| मिलता है।

$x$ -अक्ष पर बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिनकी रेखा $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$ से दूरियाँ $4$ इकाई हैं।

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Step-by-Step Solution

Step 1: रेखा के समीकरण को मानक रूप में परिवर्तित करें

दी गई रेखा का समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$ है। इस समीकरण को मानक रूप $Ax + By + C = 0$ में बदलने के लिए, हम दोनों पक्षों को $3$ और $4$ के लघुत्तम समापवर्त्य ( $12$ ) से गुणा करते हैं। इससे हमें $4x + 3y = 12$ मिलता है, जिसे $4x + 3y - 12 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

Step 2: $x$ -अक्ष पर बिंदु ज्ञात करें

$x$ -अक्ष पर कोई भी बिंदु $(a, 0)$ के रूप का होता है, जहाँ $a$ कोई वास्तविक संख्या है। हमें ऐसे बिंदु ज्ञात करने हैं जिनकी दी गई रेखा से दूरी $4$ इकाई है।

Step 3: एक बिंदु से एक रेखा की दूरी का सूत्र लागू करें

एक बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की दूरी का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है। यहाँ, $A=4$ , $B=3$ , $C=-12$ , $x_1=a$ , $y_1=0$ , और $d=4$ है।

Step 4: मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और हल करें

दूरी के सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $4 = \frac{|4a + 3(0) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$ मिलता है। इसे सरल करने पर $4 = \frac{|4a - 12|}{\sqrt{25}}$ प्राप्त होता है, जो $4 = \frac{|4a - 12|}{5}$ बन जाता है। दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर $20 = |4a - 12|$ मिलता है।

Step 5: निरपेक्ष मान समीकरण को हल करें

निरपेक्ष मान समीकरण $|4a - 12| = 20$ का अर्थ है कि $4a - 12 = 20$ या $4a - 12 = -20$ । हम इन दोनों समीकरणों को अलग-अलग हल करेंगे।

Step 6: $a$ के मान ज्ञात करें

पहले मामले में, $4a - 12 = 20$ को हल करने पर $4a = 32$ , इसलिए $a = 8$ मिलता है। दूसरे मामले में, $4a - 12 = -20$ को हल करने पर $4a = -8$ , इसलिए $a = -2$ मिलता है।

Step 7: बिंदुओं को लिखें

चूंकि $x$ -अक्ष पर बिंदु $(a, 0)$ के रूप में होते हैं, इसलिए $a$ के मान $8$ और $-2$ का उपयोग करके हमें बिंदु $(8, 0)$ और $(-2, 0)$ मिलते हैं।