यदि (x-iy) (3+5i), $6-24i$ की संयुग्मी है तो वास्तविक संख्याएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: संयुग्मी ज्ञात कीजिए

हमें दिया गया है कि (x-iy)(3+5i), $6-24i$ की संयुग्मी है। सबसे पहले, हम $6-24i$ की संयुग्मी ज्ञात करते हैं। एक सम्मिश्र संख्या a-bi की संयुग्मी a+bi होती है।

Step 2: समीकरण स्थापित कीजिए

अब, हम दिए गए सम्मिश्र गुणनफल को $6-24i$ की संयुग्मी के बराबर रखते हैं।

Step 3: बाएं पक्ष का विस्तार कीजिए

हम बाएं पक्ष में (x-iy)(3+5i) का विस्तार करते हैं।

Step 4: सरल कीजिए

हम $i^2 = -1$ का उपयोग करते हैं और वास्तविक और काल्पनिक भागों को एक साथ समूहित करते हैं।

Step 5: वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना कीजिए

दो सम्मिश्र संख्याएँ तभी बराबर होती हैं जब उनके वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग अलग-अलग बराबर हों। इससे हमें $x$ और $y$ के लिए दो रैखिक समीकरण मिलते हैं।

Step 6: समीकरणों को हल कीजिए

हम विलोपन विधि का उपयोग करके समीकरणों (1) और (2) को हल करते हैं। समीकरण (1) को 3 से और समीकरण (2) को 5 से गुणा करने पर, हम $y$ पद को समाप्त कर सकते हैं। फिर $x$ के मान को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करके $y$ का मान ज्ञात करते हैं।