हम समान पदों को समूहित करते हैं और समीकरण के दोनों पक्षों से x² और y² जैसे सामान्य पदों को रद्द करते हैं।

हम समान पदों को समूहित करते हैं और समीकरण के दोनों पक्षों से x² और y² जैसे सामान्य पदों को रद्द करते हैं।

$x$ और $y$ में एक संबंध ज्ञात कीजिए, ताकि बिंदु $(x, y)$ बिंदुओं $(7, 1)$ और $(3, 5)$ से समदूरस्थ (equidistant) हो।

Answer: निकला हुआ संबंध है $x - y = 2$ ।

Step-by-step solution

Step 1: दी गई जानकारी लिखिए

हम दिए गए बिंदुओं को $P(x, y)$ , $A(7, 1)$ और $B(3, 5)$ से दर्शाते हैं। हमें एक संबंध ज्ञात करना है ताकि बिंदु $P$ बिंदुओं $A$ और $B$ से समदूरस्थ हो, जिसका अर्थ है कि $PA = PB$ ।

Step 2: दूरी सूत्र का उपयोग करें

चूंकि बिंदु $P$ बिंदुओं $A$ और $B$ से समदूरस्थ है, इसलिए $PA = PB$ । गणना को सरल बनाने के लिए, हम दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं, ताकि वर्गमूल को समाप्त किया जा सके। दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।

Step 3: PA² का मान ज्ञात करें

दूरी सूत्र का उपयोग करके, हम बिंदुओं $P(x, y)$ और $A(7, 1)$ के बीच की दूरी $PA$ के वर्ग की गणना करते हैं। यह $(x - 7)^2 + (y - 1)^2$ के बराबर है।

Step 4: PB² का मान ज्ञात करें

इसी प्रकार, हम बिंदुओं $P(x, y)$ और $B(3, 5)$ के बीच की दूरी $PB$ के वर्ग की गणना करते हैं। यह $(x - 3)^2 + (y - 5)^2$ के बराबर है।

Step 5: दोनों वर्गों को बराबर करें

चूंकि $PA^2 = PB^2$ , हम पिछले चरणों में प्राप्त अभिव्यक्तियों को बराबर करते हैं। इस समीकरण को हल करने से $x$ और $y$ के बीच आवश्यक संबंध प्राप्त होगा।

Step 6: समीकरण का विस्तार करें

हम $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ सूत्र का उपयोग करके दोनों पक्षों पर प्रत्येक पद का विस्तार करते हैं। यह मध्यवर्ती चरण हमें समीकरण को सरल बनाने में मदद करेगा।

Step 7: समीकरण को सरल करें

हम समान पदों को समूहित करते हैं और समीकरण के दोनों पक्षों से $x^2$ और $y^2$ जैसे सामान्य पदों को रद्द करते हैं।

Step 8: आगे सरल करें

कांस्टेंट पदों को जोड़कर समीकरण को और सरल किया जाता है: $49+1 = 50$ और $9+25 = 34$ । अब हमें $x$ और $y$ के पदों को पुनर्व्यवस्थित करना है।

Step 9: पदों को पुनर्व्यवस्थित करें

सभी $x$ और $y$ पदों को एक तरफ और स्थिर पदों को दूसरी तरफ ले जाएँ। इससे हमें समीकरण को हल करने में आसानी होगी।

Step 10: अंतिम संबंध ज्ञात करें

पदों को जोड़ने और घटाने के बाद, हम $x$ और $y$ के बीच एक सरल रैखिक संबंध प्राप्त करते हैं।

Step 11: समीकरण को और सरल करें

पूरे समीकरण को $8$ से विभाजित करके और पदों को पुनर्व्यवस्थित करके, हमें $x$ और $y$ के बीच अंतिम संबंध $x - y = 2$ प्राप्त होता है।

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