x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए, ताकि बिंदु (x, y) बिंदुओं (7,1) और (3,5) से समदूरस्थ (equidistant) हो।
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Step-by-Step Solution
Step 1: दी गई जानकारी लिखिए
हम दिए गए बिंदुओं को P(x, y), A(7,1) और B(3,5) से दर्शाते हैं। हमें एक संबंध ज्ञात करना है ताकि बिंदु P बिंदुओं A और B से समदूरस्थ हो, जिसका अर्थ है कि PA=PB ।
Step 2: दूरी सूत्र का उपयोग करें
चूंकि बिंदु P बिंदुओं A और B से समदूरस्थ है, इसलिए PA=PB । गणना को सरल बनाने के लिए, हम दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं, ताकि वर्गमूल को समाप्त किया जा सके। दूरी सूत्र d=(x2−x1)2+(y2−y1)2 है।
Step 3: PA² का मान ज्ञात करें
दूरी सूत्र का उपयोग करके, हम बिंदुओं P(x, y) और A(7,1) के बीच की दूरी PA के वर्ग की गणना करते हैं। यह (x−7)2+(y−1)2 के बराबर है।
Step 4: PB² का मान ज्ञात करें
इसी प्रकार, हम बिंदुओं P(x, y) और B(3,5) के बीच की दूरी PB के वर्ग की गणना करते हैं। यह (x−3)2+(y−5)2 के बराबर है।
Step 5: दोनों वर्गों को बराबर करें
चूंकि PA2=PB2, हम पिछले चरणों में प्राप्त अभिव्यक्तियों को बराबर करते हैं। इस समीकरण को हल करने से x और y के बीच आवश्यक संबंध प्राप्त होगा।
Step 6: समीकरण का विस्तार करें
हम (a−b)2=a2−2ab+b2 सूत्र का उपयोग करके दोनों पक्षों पर प्रत्येक पद का विस्तार करते हैं। यह मध्यवर्ती चरण हमें समीकरण को सरल बनाने में मदद करेगा।
Step 7: समीकरण को सरल करें
हम समान पदों को समूहित करते हैं और समीकरण के दोनों पक्षों से x2 और y2 जैसे सामान्य पदों को रद्द करते हैं।
Step 8: आगे सरल करें
कांस्टेंट पदों को जोड़कर समीकरण को और सरल किया जाता है: 49+1=50 और 9+25=34 । अब हमें x और y के पदों को पुनर्व्यवस्थित करना है।
Step 9: पदों को पुनर्व्यवस्थित करें
सभी x और y पदों को एक तरफ और स्थिर पदों को दूसरी तरफ ले जाएँ। इससे हमें समीकरण को हल करने में आसानी होगी।
Step 10: अंतिम संबंध ज्ञात करें
पदों को जोड़ने और घटाने के बाद, हम x और y के बीच एक सरल रैखिक संबंध प्राप्त करते हैं।
Step 11: समीकरण को और सरल करें
पूरे समीकरण को 8 से विभाजित करके और पदों को पुनर्व्यवस्थित करके, हमें x और y के बीच अंतिम संबंध x−y=2 प्राप्त होता है।