वक्रों y^2 = 4x तथा x^2 = 4y द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल निश्चित समाकलन का प्रयोग करके ज्ञात कीजिए।
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Step-by-Step Solution
Step 1: वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना
सबसे पहले, हम दिए गए दो वक्रों $y^2 = 4x$ और $x^2 = 4y$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करेंगे। इन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए, हम एक समीकरण से $y$ का मान निकालकर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे।
Step 2: प्रतिच्छेदन बिंदुओं की गणना
समीकरण (2) से $y = \frac{x^2}{4}$ को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $x$ के मान प्राप्त होते हैं। जब $x=0$, तो $y=0$ होता है। जब $x=4$, तो $y = \frac{4^2}{4} = 4$ होता है। इस प्रकार, प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4,4)$ हैं।
Step 3: क्षेत्रफल के लिए सूत्र स्थापित करना
घिरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम $x$-अक्ष के सापेक्ष समाकलन का उपयोग करेंगे। ऊपरी वक्र $y_1 = \sqrt{4x} = 2\sqrt{x}$ है और निचला वक्र $y_2 = \frac{x^2}{4}$ है। समाकलन की सीमाएँ $x=0$ से $x=4$ तक होंगी।
Step 4: निश्चित समाकलन का मूल्यांकन
अब हम समाकलन को हल करेंगे। $x^{1/2}$ का समाकलन $\frac{x^{3/2}}{3/2}$ होता है और $x^2$ का समाकलन $\frac{x^3}{3}$ होता है।
Step 5: सीमाओं का प्रतिस्थापन और अंतिम परिणाम
समाकलन की ऊपरी सीमा ($x=4$) और निचली सीमा ($x=0$) को प्रतिस्थापित करके, हम घिरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल प्राप्त करते हैं।