शिखर से छोटे भवन के शिखर का अवनमन कोण 30^° है, इसलिए एकांतर अंतः कोण ACE = 30^° होगा। समकोण त्रिभुज AEC में, tan 30^° = (AE)/(CE) का उपयोग करके हम d = √3(H - 6) प्राप्त करते हैं। इसे समीकरण (1) मानते हैं।

शिखर से छोटे भवन के शिखर का अवनमन कोण 30^° है, इसलिए एकांतर अंतः कोण ACE = 30^° होगा। समकोण त्रिभुज AEC में, tan 30^° = (AE)/(CE) का उपयोग करके हम d = √3(H - 6) प्राप्त करते हैं। इसे समीकरण (1) मानते हैं।

छोटे भवन के तल का अवनमन कोण 60^° है, इसलिए ADB = 60^° होगा। समकोण त्रिभुज ABD में, tan 60^° = (AB)/(BD) का उपयोग करते हुए, √3 = (H)/(d) प्राप्त होता है, जिससे d = (H)/(√3) निकलता है। इसे समीकरण (2) मानते हैं।

छोटे भवन के तल का अवनमन कोण 60^° है, इसलिए ADB = 60^° होगा। समकोण त्रिभुज ABD में, tan 60^° = (AB)/(BD) का उपयोग करते हुए, √3 = (H)/(d) प्राप्त होता है, जिससे d = (H)/(√3) निकलता है। इसे समीकरण (2) मानते हैं।

H = 9 m का मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, दूरी d = (9)/(√3) प्राप्त होती है। हर का परिमेयकरण करने पर हमें d = 3√3 m मिलता है।

H = 9 m का मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, दूरी d = (9)/(√3) प्राप्त होती है। हर का परिमेयकरण करने पर हमें d = 3√3 m मिलता है।

अभ्यास प्रश्न | भाग 3 प्रश्न 5. एक बहुमंजिला भवन के शिखर से $6\text{ मीटर}$ ऊँचे भवन के शिखर तथा तल के अवनमन कोण क्रमशः $30^\circ$ और $60^\circ$ हैं। बहुमंजिला भवन की ऊँचाई तथा दोनों भवनों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। प्रश्न 6. $60\text{ मीटर}$ चौड़ी सड़क के दोनों ओर समान ऊँचाई वाले दो खंभे आमने-सामने खड़े हैं। सड़क पर स्थित दोनों खंभों के बीच के एक बिंदु से खंभों के शिखरों के उन्नयन कोण क्रमशः $30^\circ$ और $60^\circ$ हैं। खंभों की ऊँचाई तथा उस बिंदु से दोनों खंभों की दूरियाँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बहुमंजिला भवन की ऊँचाई $9\text{ m}$ तथा दोनों भवनों के बीच की दूरी $3\sqrt{3}\text{ m}$ (या लगभग $5.2\text{ m}$ ) है।

चरण-दर-चरण हल

चरण 1: ज्यामितीय आरेख और चरों की पहचान

मान लेते हैं कि $AB$ बहुमंजिला भवन है जिसकी ऊँचाई $H$ मीटर है, तथा $CD = 6\text{ m}$ छोटा भवन है। दोनों के आधार के बीच की दूरी $BD = d$ मीटर है। बिंदु $C$ से $AB$ पर लंबवत रेखा खींचने पर हमें बिंदु $E$ मिलता है, जिससे $ED = CD = 6\text{ m}$ और $AE = H - 6\text{ m}$ प्राप्त होता है। साथ ही, $CE = BD = d$ होगा।

चरण 2: समकोण त्रिभुज AEC में त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग

शिखर से छोटे भवन के शिखर का अवनमन कोण $30^\circ$ है, इसलिए एकांतर अंतः कोण $\angle ACE = 30^\circ$ होगा। समकोण त्रिभुज $AEC$ में, $\tan 30^\circ = \frac{AE}{CE}$ का उपयोग करके हम $d = \sqrt{3}(H - 6)$ प्राप्त करते हैं। इसे समीकरण (1) मानते हैं।

चरण 3: समकोण त्रिभुज ABD में त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग

छोटे भवन के तल का अवनमन कोण $60^\circ$ है, इसलिए $\angle ADB = 60^\circ$ होगा। समकोण त्रिभुज $ABD$ में, $\tan 60^\circ = \frac{AB}{BD}$ का उपयोग करते हुए, $\sqrt{3} = \frac{H}{d}$ प्राप्त होता है, जिससे $d = \frac{H}{\sqrt{3}}$ निकलता है। इसे समीकरण (2) मानते हैं।

चरण 4: समीकरणों से बहुमंजिला भवन की ऊँचाई H ज्ञात करना

समीकरण (1) और (2) से $d$ के मानों की तुलना करते हैं। दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से गुणा करने पर $3(H - 6) = H$ प्राप्त होता है। कोष्ठक खोलने पर $3H - 18 = H$ बनता है, जिससे $2H = 18$ और अंततः बहुमंजिला भवन की ऊँचाई $H = 9\text{ m}$ प्राप्त होती है।

चरण 5: दोनों भवनों के बीच की दूरी d ज्ञात करना

$H = 9\text{ m}$ का मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, दूरी $d = \frac{9}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होती है। हर का परिमेयकरण करने पर हमें $d = 3\sqrt{3}\text{ m}$ मिलता है।

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