हम जानते हैं कि ∫ (1)/(1 + y²)dy = tan^{-1}y और ∫ (1 + x²)dx = x + (x³)/(3) + C , जहाँ C समाकलन स्थिरांक है। इन समाकलनों को हल करने पर हमें यह परिणाम मिलता है।

हम जानते हैं कि ∫ (1)/(1 + y²)dy = tan^{-1}y और ∫ (1 + x²)dx = x + (x³)/(3) + C , जहाँ C समाकलन स्थिरांक है। इन समाकलनों को हल करने पर हमें यह परिणाम मिलता है।

अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} = (1 + x^2)(1 + y^2)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: चरों को पृथक करना

दिए गए अवकल समीकरण को हल करने के लिए, हम चरों को पृथक करते हैं। इसका अर्थ है कि हम $y$ से संबंधित सभी पदों को $dy$ के साथ एक तरफ और $x$ से संबंधित सभी पदों को $dx$ के साथ दूसरी तरफ ले जाते हैं।

Step 2: दोनों पक्षों का समाकलन करना

चरों को पृथक करने के बाद, हम समीकरण के दोनों पक्षों का समाकलन करते हैं। यह हमें $y$ और $x$ के बीच संबंध खोजने में मदद करेगा।

Step 3: समाकलन करना

हम जानते हैं कि $\int \frac{1}{1 + y^2}dy = \tan^{-1}y$ और $\int (1 + x^2)dx = x + \frac{x^3}{3} + C$ , जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है। इन समाकलनों को हल करने पर हमें यह परिणाम मिलता है।