आव्यूह A = [[1, 2], [3, 4]] का व्युत्क्रम (inverse) ज्ञात कीजिए और सिद्ध कीजिए कि A * A^-1 = I.
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Step-by-Step Solution
Step 1: सारणिक ज्ञात कीजिए
आव्यूह A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} का सारणिक \\det(A) सूत्र ad - bc का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। यहाँ, a=1$, b=2$, c=3$, और d=4 हैं।
Step 2: सारणिक का मान
सारणिक का मान 4 - 6 = -2 है। चूंकि सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए आव्यूह का व्युत्क्रम मौजूद है।
Step 3: सहखंडज आव्यूह ज्ञात कीजिए
एक 2 $\times 2 आव्यूह A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} के लिए, सहखंडज आव्यूह \text{adj}(A) को d और a को आपस में बदलकर और b और c के चिह्नों को बदलकर प्राप्त किया जाता है, जिससे \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} प्राप्त होता है।$
Step 4: व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात कीजिए
व्युत्क्रम आव्यूह A^{-1} को सूत्र A^{-1} = $\frac{1}{\\det(A)} \text{adj}(A) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। हमने सारणिक और सहखंडज आव्यूह दोनों की गणना की है, इसलिए हम इन मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं।$
Step 5: सत्यापन: $A \cdot A^{-1}$
अब हमें यह सिद्ध करना है कि A $\cdot A^{-1} = I$, जहाँ I तत्समक आव्यूह है। हम आव्यूह A को A^{-1} से गुणा करते हैं।$
Step 6: गुणा का परिणाम
गुणा करने और सरल बनाने पर, हमें तत्समक आव्यूह प्राप्त होता है, जो यह सिद्ध करता है कि A $\cdot A^{-1} = I है।$