एक गुणोत्तर श्रेणी को ज्ञात कीजिए, जिसके प्रथम दो पदों का योगफल $-4$ है तथा 5वाँ पद तृतीय पद का $4$ गुना है।

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Step-by-Step Solution

Step 1: गुणोत्तर श्रेणी के पदों को परिभाषित करें

एक गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression) के प्रथम पद को $a$ और सार्व अनुपात (common ratio) को $r$ मान लेते हैं। इस प्रकार, गुणोत्तर श्रेणी के पद $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \dots$ के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं।

Step 2: दी गई शर्तों को समीकरणों में बदलें

समस्या में दो शर्तें दी गई हैं: प्रथम दो पदों का योगफल $-4$ है, जिससे समीकरण (1) प्राप्त होता है। पाँचवाँ पद तीसरे पद का $4$ गुना है, जिससे समीकरण (2) प्राप्त होता है।

Step 3: समीकरण (2) को हल करें

समीकरण (2) को हल करने के लिए, हम $ar^2$ से दोनों पक्षों को विभाजित करते हैं (यह मानते हुए कि $a \neq 0$ और $r \neq 0$ , क्योंकि यदि $a=0$ तो सभी पद $0$ होंगे और योग $-4$ नहीं हो सकता, और यदि $r=0$ तो पाँचवाँ पद $0$ होगा जबकि तीसरा पद $0$ नहीं होगा)। इससे हमें $r^2 = 4$ मिलता है, जिसका अर्थ है कि $r = 2$ या $r = -2$ ।

Step 4: समीकरण (1) में $r$ के मानों को प्रतिस्थापित करें

अब हम $r$ के दोनों मानों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करेंगे ताकि $a$ के संगत मान प्राप्त हो सकें। जब $r=2$ , तो $a = -\frac{4}{3}$ मिलता है। जब $r=-2$ , तो $a = 4$ मिलता है।

Step 5: गुणोत्तर श्रेणी ज्ञात करें

हमें $a$ और $r$ के दो युग्म प्राप्त हुए हैं। प्रत्येक युग्म के लिए, हम गुणोत्तर श्रेणी के पहले कुछ पदों को लिखकर श्रेणी ज्ञात कर सकते हैं।