एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 6l² होता है, जहाँ l घन के किनारे की लंबाई है।

अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2π r² होता है, जहाँ r अर्धगोले की त्रिज्या है।

अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2π r² होता है, जहाँ r अर्धगोले की त्रिज्या है।

अर्धगोले का आधार एक वृत्त होता है, जिसका क्षेत्रफल π r² होता है। यह क्षेत्रफल घन के फलक से काटा गया है।

अर्धगोले का आधार एक वृत्त होता है, जिसका क्षेत्रफल π r² होता है। यह क्षेत्रफल घन के फलक से काटा गया है।

अब हम पिछले चरणों से प्राप्त सूत्रों को प्रतिस्थापित करते हैं: 6l² + 2π r² - π r² = 6l² + π r² । चूंकि r = l/2 , हम r को l/2 से प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

अब हम पिछले चरणों से प्राप्त सूत्रों को प्रतिस्थापित करते हैं: 6l² + 2π r² - π r² = 6l² + π r² । चूंकि r = l/2 , हम r को l/2 से प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

त्रिज्या r = l/2 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 6l² + π (l/2)² मिलता है। इसे सरल करने पर 6l² + π l²/4 प्राप्त होता है। l² को उभयनिष्ठ लेने पर, हमें l²(6 + π/4) मिलता है, जिसे आगे (l²)/(4) (24 + π) के रूप में लिखा जा सकता है।

त्रिज्या r = l/2 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 6l² + π (l/2)² मिलता है। इसे सरल करने पर 6l² + π l²/4 प्राप्त होता है। l² को उभयनिष्ठ लेने पर, हमें l²(6 + π/4) मिलता है, जिसे आगे (l²)/(4) (24 + π) के रूप में लिखा जा सकता है।

एक घनाकार ब्लॉक के एक फलक को अंदर की ओर से काट कर एक अर्धगोलाकार गड्ढा इस प्रकार बनाया गया है कि अर्धगोले का व्यास घन के एक किनारे के बराबर है। शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: घनाकार ब्लॉक के किनारे की लंबाई और अर्धगोले के व्यास को परिभाषित करें

मान लीजिए घन के किनारे की लंबाई $l$ है। प्रश्न के अनुसार, अर्धगोले का व्यास घन के किनारे के बराबर है। इसलिए, अर्धगोले की त्रिज्या $r$ होगी, जो घन के किनारे की लंबाई $l$ की आधी होगी।

Step 2: घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें

एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $6l^2$ होता है, जहाँ $l$ घन के किनारे की लंबाई है।

Step 3: अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें

अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi r^2$ होता है, जहाँ $r$ अर्धगोले की त्रिज्या है।

Step 4: अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें

अर्धगोले का आधार एक वृत्त होता है, जिसका क्षेत्रफल $\pi r^2$ होता है। यह क्षेत्रफल घन के फलक से काटा गया है।

Step 5: शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें

शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल जोड़ते हैं और अर्धगोले के आधार के क्षेत्रफल को घटाते हैं, क्योंकि यह भाग अब ठोस का हिस्सा नहीं है।

Step 6: सूत्रों को प्रतिस्थापित करें और सरल करें

अब हम पिछले चरणों से प्राप्त सूत्रों को प्रतिस्थापित करते हैं: $6l^2 + 2\pi r^2 - \pi r^2 = 6l^2 + \pi r^2$ । चूंकि $r = l/2$ , हम $r$ को $l/2$ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

Step 7: अंतिम व्यंजक प्राप्त करें

त्रिज्या $r = l/2$ को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $6l^2 + \pi (l/2)^2$ मिलता है। इसे सरल करने पर $6l^2 + \pi l^2/4$ प्राप्त होता है। $l^2$ को उभयनिष्ठ लेने पर, हमें $l^2(6 + \pi/4)$ मिलता है, जिसे आगे $\frac{l^2}{4} (24 + \pi)$ के रूप में लिखा जा सकता है।