मान लीजिए कि वृत्त का केंद्र O है। रेशमा, सलमा और मनदीप की स्थितियों को क्रमशः बिंदुओं R, S और M द्वारा दर्शाया गया है। वृत्त की त्रिज्या 5 m है, अतः OR = OS = OM = 5 m। दिया गया है कि रेशमा और सलमा के बीच की दूरी RS = 6 m तथा सलमा और मनदीप के बीच की दूरी SM = 6 m है।

मान लीजिए कि वृत्त का केंद्र O है। रेशमा, सलमा और मनदीप की स्थितियों को क्रमशः बिंदुओं R, S और M द्वारा दर्शाया गया है। वृत्त की त्रिज्या 5 m है, अतः OR = OS = OM = 5 m। दिया गया है कि रेशमा और सलमा के बीच की दूरी RS = 6 m तथा सलमा और मनदीप के बीच की दूरी SM = 6 m है।

समकोण त्रिभुज OLR में, कर्ण OR = 5 m तथा आधार RL = 3 m है। पाइथागोरस प्रमेय से OL² = OR² - RL² प्राप्त होता है। गणना करने पर OL = 4 m मिलता है।

समकोण त्रिभुज OLR में, कर्ण OR = 5 m तथा आधार RL = 3 m है। पाइथागोरस प्रमेय से OL² = OR² - RL² प्राप्त होता है। गणना करने पर OL = 4 m मिलता है।

चूँकि OR = OM और RS = SM है, अतः चतुर्भुज ORSM एक पतंग (kite) है, जिसमें विकर्ण OS, विकर्ण RM का लंब समद्विभाजक होता है। मान लीजिए RM और OS का प्रतिच्छेद बिंदु K है, तो RK OS तथा RM = 2 × RK होगा। त्रिभुज ORS का क्षेत्रफल आधार RS और शीर्षलंब OL लेकर तथा आधार OS और शीर्षलंब RK लेकर बराबर रखा जा सकता है।

चूँकि OR = OM और RS = SM है, अतः चतुर्भुज ORSM एक पतंग (kite) है, जिसमें विकर्ण OS, विकर्ण RM का लंब समद्विभाजक होता है। मान लीजिए RM और OS का प्रतिच्छेद बिंदु K है, तो RK OS तथा RM = 2 × RK होगा। त्रिभुज ORS का क्षेत्रफल आधार RS और शीर्षलंब OL लेकर तथा आधार OS और शीर्षलंब RK लेकर बराबर रखा जा सकता है।

दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर, RS × OL = OS × RK प्राप्त होता है। मान रखने पर 6 × 4 = 5 × RK, जिससे RK = (24)/(5) = 4.8 m प्राप्त होता है। चूँकि OS, RM को समद्विभाजित करता है, इसलिए रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी RM = 2 × RK = 2 × 4.8 = 9.6 m है।

दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर, RS × OL = OS × RK प्राप्त होता है। मान रखने पर 6 × 4 = 5 × RK, जिससे RK = (24)/(5) = 4.8 m प्राप्त होता है। चूँकि OS, RM को समद्विभाजित करता है, इसलिए रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी RM = 2 × RK = 2 × 4.8 = 9.6 m है।

एक पार्क में बने $5\text{ m}$ त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी $6\text{ m}$ हो, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है?

Answer: रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी $9.6\text{ m}$ है।

Step-by-step solution

Step 1: वृत्त एवं जीवाओं की स्थिति को निरूपित करना

मान लीजिए कि वृत्त का केंद्र $O$ है। रेशमा, सलमा और मनदीप की स्थितियों को क्रमशः बिंदुओं $R$ , $S$ और $M$ द्वारा दर्शाया गया है। वृत्त की त्रिज्या $5\text{ m}$ है, अतः $OR = OS = OM = 5\text{ m}$ । दिया गया है कि रेशमा और सलमा के बीच की दूरी $RS = 6\text{ m}$ तथा सलमा और मनदीप के बीच की दूरी $SM = 6\text{ m}$ है।

Step 2: केंद्र से जीवा RS पर लंब खींचना

केंद्र $O$ से जीवा $RS$ पर लंब $OL$ खींचते हैं। हम जानते हैं कि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए $RL = LS = 3\text{ m}$ होगा। समकोण त्रिभुज $OLR$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं।

Step 3: लंब OL की लंबाई ज्ञात करना

समकोण त्रिभुज $OLR$ में, कर्ण $OR = 5\text{ m}$ तथा आधार $RL = 3\text{ m}$ है। पाइथागोरस प्रमेय से $OL^2 = OR^2 - RL^2$ प्राप्त होता है। गणना करने पर $OL = 4\text{ m}$ मिलता है।

Step 4: त्रिभुज ORS का क्षेत्रफल दो प्रकार से व्यक्त करना

चूँकि $OR = OM$ और $RS = SM$ है, अतः चतुर्भुज $ORSM$ एक पतंग (kite) है, जिसमें विकर्ण $OS$ , विकर्ण $RM$ का लंब समद्विभाजक होता है। मान लीजिए $RM$ और $OS$ का प्रतिच्छेद बिंदु $K$ है, तो $RK \perp OS$ तथा $RM = 2 \times RK$ होगा। त्रिभुज $ORS$ का क्षेत्रफल आधार $RS$ और शीर्षलंब $OL$ लेकर तथा आधार $OS$ और शीर्षलंब $RK$ लेकर बराबर रखा जा सकता है।

Step 5: RK तथा RM की लंबाई की गणना करना

दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर, $RS \times OL = OS \times RK$ प्राप्त होता है। मान रखने पर $6 \times 4 = 5 \times RK$ , जिससे $RK = \frac{24}{5} = 4.8\text{ m}$ प्राप्त होता है। चूँकि $OS$ , $RM$ को समद्विभाजित करता है, इसलिए रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी $RM = 2 \times RK = 2 \times 4.8 = 9.6\text{ m}$ है।

Solve your own maths question free →