दो रेखाओं के बीच के कोण θ की स्पर्शज्या (tangent) ज्ञात करने का सूत्र है tan θ = (m_1 - m_2)/(1 + m_1 m_2) । हमें दिया गया है कि tan θ = (1)/(3) ।

दो रेखाओं के बीच के कोण θ की स्पर्शज्या (tangent) ज्ञात करने का सूत्र है tan θ = (m_1 - m_2)/(1 + m_1 m_2) । हमें दिया गया है कि tan θ = (1)/(3) ।

अब हम m_1 = 2m_2 और tan θ = (1)/(3) को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें (1)/(3) = (2m_2 - m_2)/(1 + (2m_2)m_2) मिलता है, जिसे सरल करने पर (1)/(3) = (m_2)/(1 + 2m_2²) प्राप्त होता है।

अब हम m_1 = 2m_2 और tan θ = (1)/(3) को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें (1)/(3) = (2m_2 - m_2)/(1 + (2m_2)m_2) मिलता है, जिसे सरल करने पर (1)/(3) = (m_2)/(1 + 2m_2²) प्राप्त होता है।

चूंकि समीकरण में एक निरपेक्ष मान है, इसलिए हमें दो मामलों पर विचार करना होगा: जब (m_2)/(1 + 2m_2²) धनात्मक (1)/(3) के बराबर हो, और जब यह ऋणात्मक (1)/(3) के बराबर हो।

चूंकि समीकरण में एक निरपेक्ष मान है, इसलिए हमें दो मामलों पर विचार करना होगा: जब (m_2)/(1 + 2m_2²) धनात्मक (1)/(3) के बराबर हो, और जब यह ऋणात्मक (1)/(3) के बराबर हो।

पहले मामले के लिए, (m_2)/(1 + 2m_2²) = (1)/(3) । इसे 3m_2 = 1 + 2m_2² के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जो 2m_2² - 3m_2 + 1 = 0 बन जाता है। इस द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करने पर (2m_2 - 1)(m_2 - 1) = 0 मिलता है, जिससे m_2 = 1 या m_2 = (1)/(2) प्राप्त होता है।

पहले मामले के लिए, (m_2)/(1 + 2m_2²) = (1)/(3) । इसे 3m_2 = 1 + 2m_2² के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जो 2m_2² - 3m_2 + 1 = 0 बन जाता है। इस द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करने पर (2m_2 - 1)(m_2 - 1) = 0 मिलता है, जिससे m_2 = 1 या m_2 = (1)/(2) प्राप्त होता है।

दूसरे मामले के लिए, (m_2)/(1 + 2m_2²) = -(1)/(3) । इसे -3m_2 = 1 + 2m_2² के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जो 2m_2² + 3m_2 + 1 = 0 बन जाता है। इस द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करने पर (2m_2 + 1)(m_2 + 1) = 0 मिलता है, जिससे m_2 = -1 या m_2 = -(1)/(2) प्राप्त होता है।

दूसरे मामले के लिए, (m_2)/(1 + 2m_2²) = -(1)/(3) । इसे -3m_2 = 1 + 2m_2² के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जो 2m_2² + 3m_2 + 1 = 0 बन जाता है। इस द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करने पर (2m_2 + 1)(m_2 + 1) = 0 मिलता है, जिससे m_2 = -1 या m_2 = -(1)/(2) प्राप्त होता है।

एक रेखा की ढाल दूसरी रेखा की ढाल का दुगुना है। यदि दोनों के बीच के कोण की स्पर्शज्या (tangent) $\frac{1}{3}$ है तो रेखाओं की ढाल ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: ढालों को परिभाषित करें

मान लीजिए कि पहली रेखा की ढाल $m_1$ है और दूसरी रेखा की ढाल $m_2$ है। प्रश्न के अनुसार, पहली रेखा की ढाल दूसरी रेखा की ढाल का दुगुना है, इसलिए हम इसे $m_1 = 2m_2$ के रूप में लिख सकते हैं।

Step 2: दो रेखाओं के बीच के कोण के लिए सूत्र का प्रयोग करें

दो रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ की स्पर्शज्या (tangent) ज्ञात करने का सूत्र है $\tan \theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$ । हमें दिया गया है कि $\tan \theta = \frac{1}{3}$ ।

Step 3: मानों को प्रतिस्थापित करें और समीकरण को हल करें

अब हम $m_1 = 2m_2$ और $\tan \theta = \frac{1}{3}$ को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें $\frac{1}{3} = \left|\frac{2m_2 - m_2}{1 + (2m_2)m_2}\right|$ मिलता है, जिसे सरल करने पर $\frac{1}{3} = \left|\frac{m_2}{1 + 2m_2^2}\right|$ प्राप्त होता है।

Step 4: दो मामलों पर विचार करें

चूंकि समीकरण में एक निरपेक्ष मान है, इसलिए हमें दो मामलों पर विचार करना होगा: जब $\frac{m_2}{1 + 2m_2^2}$ धनात्मक $\frac{1}{3}$ के बराबर हो, और जब यह ऋणात्मक $\frac{1}{3}$ के बराबर हो।

Step 5: पहला मामला हल करें

पहले मामले के लिए, $\frac{m_2}{1 + 2m_2^2} = \frac{1}{3}$ । इसे $3m_2 = 1 + 2m_2^2$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जो $2m_2^2 - 3m_2 + 1 = 0$ बन जाता है। इस द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करने पर $(2m_2 - 1)(m_2 - 1) = 0$ मिलता है, जिससे $m_2 = 1$ या $m_2 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

Step 6: दूसरे मामले को हल करें

दूसरे मामले के लिए, $\frac{m_2}{1 + 2m_2^2} = -\frac{1}{3}$ । इसे $-3m_2 = 1 + 2m_2^2$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जो $2m_2^2 + 3m_2 + 1 = 0$ बन जाता है। इस द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करने पर $(2m_2 + 1)(m_2 + 1) = 0$ मिलता है, जिससे $m_2 = -1$ या $m_2 = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

Step 7: ढालों के संभावित मान ज्ञात करें

प्रत्येक $m_2$ मान के लिए, हम $m_1 = 2m_2$ का उपयोग करके संगत $m_1$ मान ज्ञात करते हैं। इस प्रकार, ढालों के चार संभावित जोड़े हैं: $(2, 1)$ , $(1, \frac{1}{2})$ , $(-2, -1)$ , और $(-1, -\frac{1}{2})$ ।