सबसे पहले, हम समकोण त्रिभुज ABC पर विचार करते हैं, जहाँ AB मीनार की ऊँचाई है और BC छाया की लंबाई है जब उन्नयन कोण 60^ है। हम tan अनुपात का उपयोग करते हैं क्योंकि यह लंब (मीनार की ऊँचाई) और आधार (छाया की लंबाई) से संबंधित है।

सबसे पहले, हम समकोण त्रिभुज ABC पर विचार करते हैं, जहाँ AB मीनार की ऊँचाई है और BC छाया की लंबाई है जब उन्नयन कोण 60^ है। हम tan अनुपात का उपयोग करते हैं क्योंकि यह लंब (मीनार की ऊँचाई) और आधार (छाया की लंबाई) से संबंधित है।

हम जानते हैं कि tan 60^ = √(3) । मीनार की ऊँचाई को h मानकर, हम BC के लिए एक समीकरण प्राप्त करते हैं।

हम जानते हैं कि tan 60^ = √(3) । मीनार की ऊँचाई को h मानकर, हम BC के लिए एक समीकरण प्राप्त करते हैं।

हम जानते हैं कि tan 30^ = {1}{√(3)} । मीनार की ऊँचाई h है, इसलिए हम BD के लिए एक समीकरण प्राप्त करते हैं।

हम जानते हैं कि tan 30^ = {1}{√(3)} । मीनार की ऊँचाई h है, इसलिए हम BD के लिए एक समीकरण प्राप्त करते हैं।

समस्या के अनुसार, जब उन्नयन कोण 60^ से घटकर 30^ हो जाता है, तो छाया की लंबाई 40 m बढ़ जाती है। इसलिए, BD और BC के बीच का अंतर 40 m है।

समस्या के अनुसार, जब उन्नयन कोण 60^ से घटकर 30^ हो जाता है, तो छाया की लंबाई 40 m बढ़ जाती है। इसलिए, BD और BC के बीच का अंतर 40 m है।

एक समतल जमीन पर खड़ी मीनार की छाया उस स्थिति में 40 m अधिक लंबी हो जाती है जबकि सूर्य का उन्नतांश (altitude) $60^\circ$ से घटकर $30^\circ$ हो जाता है अर्थात् छाया के एक सिरे से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $60^\circ$ है और DB छाया की लंबाई है जबकि उन्नयन कोण $30^\circ$ है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: समकोण त्रिभुज ABC में त्रिकोणमितीय अनुपात का प्रयोग करें

सबसे पहले, हम समकोण त्रिभुज $ABC$ पर विचार करते हैं, जहाँ $AB$ मीनार की ऊँचाई है और $BC$ छाया की लंबाई है जब उन्नयन कोण $60^\circ$ है। हम $\tan$ अनुपात का उपयोग करते हैं क्योंकि यह लंब (मीनार की ऊँचाई) और आधार (छाया की लंबाई) से संबंधित है।

Step 2: BC के लिए समीकरण हल करें

हम जानते हैं कि $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ । मीनार की ऊँचाई को $h$ मानकर, हम $BC$ के लिए एक समीकरण प्राप्त करते हैं।

Step 3: समकोण त्रिभुज ABD में त्रिकोणमितीय अनुपात का प्रयोग करें

अब, हम बड़े समकोण त्रिभुज $ABD$ पर विचार करते हैं, जहाँ $AB$ मीनार की ऊँचाई है और $BD$ छाया की कुल लंबाई है जब उन्नयन कोण $30^\circ$ है।

Step 4: BD के लिए समीकरण हल करें

हम जानते हैं कि $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ । मीनार की ऊँचाई $h$ है, इसलिए हम $BD$ के लिए एक समीकरण प्राप्त करते हैं।

Step 5: छाया की लंबाई में अंतर का उपयोग करें

समस्या के अनुसार, जब उन्नयन कोण $60^\circ$ से घटकर $30^\circ$ हो जाता है, तो छाया की लंबाई $40 \text{ m}$ बढ़ जाती है। इसलिए, $BD$ और $BC$ के बीच का अंतर $40 \text{ m}$ है।

Step 6: h के लिए हल करें

अब हम $BD$ और $BC$ के लिए प्राप्त मानों को समीकरण $BD - BC = 40$ में प्रतिस्थापित करते हैं और $h$ के लिए हल करते हैं।