अब हम d के दोनों मानों के लिए a के संगत मान ज्ञात करेंगे। यदि d = (1)/(2) है, तो a = 3 - 4((1)/(2)) = 3 - 2 = 1 । यदि d = -(1)/(2) है, तो a = 3 - 4(-(1)/(2)) = 3 + 2 = 5 ।

अब हम d के दोनों मानों के लिए a के संगत मान ज्ञात करेंगे। यदि d = (1)/(2) है, तो a = 3 - 4((1)/(2)) = 3 - 2 = 1 । यदि d = -(1)/(2) है, तो a = 3 - 4(-(1)/(2)) = 3 + 2 = 5 ।

समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग S_n = (n)/(2)[2a + (n-1)d] सूत्र द्वारा दिया जाता है। हम n=16 के लिए योग ज्ञात करेंगे। \\ केस 1: जब a = 1 और d = (1)/(2) है, तो S_{16} = (16)/(2)[2(1) + (16-1)(1)/(2)] = 8[2 + (15)/(2)] = 8[(19)/(2)] = 76 । \\ केस 2: जब a = 5 और d = -(1)/(2) है, तो S_{16} = (16)/(2)[2(5) + (16-1)(-(1)/(2))] = 8[10 - (15)/(2)] = 8[(5)/(2)] = 20 ।

समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग S_n = (n)/(2)[2a + (n-1)d] सूत्र द्वारा दिया जाता है। हम n=16 के लिए योग ज्ञात करेंगे। \\ केस 1: जब a = 1 और d = (1)/(2) है, तो S_{16} = (16)/(2)[2(1) + (16-1)(1)/(2)] = 8[2 + (15)/(2)] = 8[(19)/(2)] = 76 । \\ केस 2: जब a = 5 और d = -(1)/(2) है, तो S_{16} = (16)/(2)[2(5) + (16-1)(-(1)/(2))] = 8[10 - (15)/(2)] = 8[(5)/(2)] = 20 ।

किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: AP के पदों को व्यक्त करना

हम जानते हैं कि एक समांतर श्रेणी (A.P.) का $n$ वाँ पद $a_n = a + (n-1)d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है। इसलिए, तीसरा पद $a_3 = a + (3-1)d = a + 2d$ और सातवाँ पद $a_7 = a + (7-1)d = a + 6d$ होगा।

Step 2: दिए गए योग और गुणनफल का उपयोग करना

समस्या के अनुसार, तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है, इसलिए $a_3 + a_7 = 6$ । इससे हमें $2a + 8d = 6$ या $a + 4d = 3$ मिलता है। इसे समीकरण (1) मान लेते हैं। साथ ही, उनका गुणनफल 8 है, इसलिए $a_3 \times a_7 = 8$ ।

Step 3: $a$ और $d$ के मान ज्ञात करना

समीकरण (1) से $a = 3 - 4d$ को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $(3 - 4d + 2d)(3 - 4d + 6d) = 8$ मिलता है। इसे सरल करने पर $(3 - 2d)(3 + 2d) = 8$ प्राप्त होता है, जो $9 - 4d^2 = 8$ बन जाता है। इसे हल करने पर $d^2 = \frac{1}{4}$ और $d = \pm \frac{1}{2}$ मिलता है।

Step 4: $a$ के संगत मान ज्ञात करना

अब हम $d$ के दोनों मानों के लिए $a$ के संगत मान ज्ञात करेंगे। यदि $d = \frac{1}{2}$ है, तो $a = 3 - 4(\frac{1}{2}) = 3 - 2 = 1$ । यदि $d = -\frac{1}{2}$ है, तो $a = 3 - 4(-\frac{1}{2}) = 3 + 2 = 5$ ।

Step 5: प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात करना

समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है। हम $n=16$ के लिए योग ज्ञात करेंगे। \\ केस 1: जब $a = 1$ और $d = \frac{1}{2}$ है, तो $S_{16} = \frac{16}{2}[2(1) + (16-1)\frac{1}{2}] = 8[2 + \frac{15}{2}] = 8[\frac{19}{2}] = 76$ । \\ केस 2: जब $a = 5$ और $d = -\frac{1}{2}$ है, तो $S_{16} = \frac{16}{2}[2(5) + (16-1)(-\frac{1}{2})] = 8[10 - \frac{15}{2}] = 8[\frac{5}{2}] = 20$ ।