किसी गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योग 56 है। यदि हम क्रम से इन संख्याओं में से 1, 7, 21 घटाएँ तो हमें एक समांतर श्रेणी प्राप्त होती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Get the complete, step-by-step math solution for: "किसी गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योग 56 है। यदि हम क्रम से इन संख्याओं में से 1, 7, 21 घटाएँ तो हमें एक समांतर श्रेणी प्राप्त होती है। संख्याएँ ज्ञ...". Powered by SolveForX AI math tutor.
Step-by-Step Solution
Step 1: गुणोत्तर श्रेणी के पदों को मानना
मान लीजिए कि गुणोत्तर श्रेणी (GP) के तीन पद a/r,
a
और
ar
हैं, जहाँ
a
पहला पद है और
r
सार्व अनुपात है।
Step 2: गुणोत्तर श्रेणी के पदों का योग
समस्या के अनुसार, गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योग 56 है। हम इस जानकारी का उपयोग करके एक समीकरण बनाते हैं।
Step 3: समांतर श्रेणी के पदों को ज्ञात करना
जब हम गुणोत्तर श्रेणी के पदों में से क्रमशः 1, 7 और 21 घटाते हैं, तो हमें एक समांतर श्रेणी (AP) प्राप्त होती है।
Step 4: समांतर श्रेणी की शर्त लागू करना
एक समांतर श्रेणी में, मध्य पद का दोगुना पहले और तीसरे पद के योग के बराबर होता है। इस शर्त का उपयोग करके हम एक और समीकरण बनाते हैं।
Step 5: समीकरणों को हल करना
हमने समांतर श्रेणी की शर्त से प्राप्त समीकरण को सरल किया। फिर, हमने गुणोत्तर श्रेणी के योग के समीकरण से a(1/r + r) के मान को प्रतिस्थापित किया। इससे हमें
a
का मान 16 प्राप्त हुआ।
Step 6: सार्व अनुपात
r
ज्ञात करना
हमने
a=16
को गुणोत्तर श्रेणी के योग के समीकरण में प्रतिस्थापित किया। इससे हमें
r
के लिए एक द्विघात समीकरण मिला, जिसे हल करने पर
r=1/2
या
r=2
प्राप्त हुआ।
Step 7: गुणोत्तर श्रेणी के पदों को ज्ञात करना
हमने
a
और
r
के मानों का उपयोग करके गुणोत्तर श्रेणी के पदों को ज्ञात किया। दोनों ही मामलों में, हमें समान संख्याएँ (8, 16, 32) प्राप्त होती हैं, बस क्रम अलग होता है।