माना P मूलधन है और t समय है। मूलधन की वृद्धि की दर (dP)/(dt) मूलधन P के समानुपाती होती है, जहाँ समानुपाती स्थिरांक वार्षिक दर r\% है।

माना P मूलधन है और t समय है। मूलधन की वृद्धि की दर (dP)/(dt) मूलधन P के समानुपाती होती है, जहाँ समानुपाती स्थिरांक वार्षिक दर r\% है।

लघुगणक के गुणों का उपयोग करके, हम समीकरण को सरल करते हैं। _e 200 - _e 100 = _e (200)/(100) = _e 2 होता है।

लघुगणक के गुणों का उपयोग करके, हम समीकरण को सरल करते हैं। _e 200 - _e 100 = _e (200)/(100) = _e 2 होता है।

दिए गए मान _e 2 = 0.6931 का उपयोग करके, हम r के लिए हल करते हैं।

किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि $r\%$ वार्षिक की दर से होती है। यदि 100 रुपये 10 वर्षों में दुगुने हो जाते हैं, तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए। $(\log_e 2 = 0.6931)$ ।

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Step-by-Step Solution

Step 1: मूलधन वृद्धि के लिए अवकल समीकरण स्थापित करें

माना $P$ मूलधन है और $t$ समय है। मूलधन की वृद्धि की दर $\frac{dP}{dt}$ मूलधन $P$ के समानुपाती होती है, जहाँ समानुपाती स्थिरांक वार्षिक दर $r\%$ है।

Step 2: अवकल समीकरण को हल करें

अवकल समीकरण को हल करने के लिए, हम चरों को अलग करते हैं और दोनों पक्षों का समाकलन करते हैं। समाकलन के बाद हमें $\log_e P = \frac{rt}{100} + C$ प्राप्त होता है, जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

Step 3: प्रारंभिक शर्त लागू करें

प्रारंभिक शर्त के अनुसार, जब समय $t=0$ होता है, तो मूलधन $P=100$ रुपये होता है। इस शर्त को समाकलित समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें $C$ का मान प्राप्त होता है।

Step 4: अंतिम शर्त लागू करें

10 वर्षों के बाद मूलधन दुगुना हो जाता है, इसलिए जब $t=10$ होता है, तो $P=200$ रुपये होता है। हम इस शर्त और $C$ के मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 5: $r$ के लिए हल करें

लघुगणक के गुणों का उपयोग करके, हम समीकरण को सरल करते हैं। $\log_e 200 - \log_e 100 = \log_e \left(\frac{200}{100}\right) = \log_e 2$ होता है।

Step 6: $r$ का मान ज्ञात करें

दिए गए मान $\log_e 2 = 0.6931$ का उपयोग करके, हम $r$ के लिए हल करते हैं।