दिए गए द्विघात समीकरण को मानक रूप ax² + bx + c = 0 में लिखा गया है, जहाँ a = √(2) , b = 7 और c = 5√(2) है।

दिए गए द्विघात समीकरण को मानक रूप ax² + bx + c = 0 में लिखा गया है, जहाँ a = √(2) , b = 7 और c = 5√(2) है।

हम मध्य पद 7x को दो पदों में विभाजित करते हैं, जिनका गुणनफल a · c = √(2) · 5√(2) = 5 · 2 = 10 के बराबर हो और जिनका योग b = 7 के बराबर हो। ऐसे दो पद 2x और 5x हैं।

हम मध्य पद 7x को दो पदों में विभाजित करते हैं, जिनका गुणनफल a · c = √(2) · 5√(2) = 5 · 2 = 10 के बराबर हो और जिनका योग b = 7 के बराबर हो। ऐसे दो पद 2x और 5x हैं।

अब हम उभयनिष्ठ द्विपद गुणनखंड (x + √(2)) को बाहर निकालते हैं, जिससे हमें गुणनखंडित रूप प्राप्त होता है।

अब हम उभयनिष्ठ द्विपद गुणनखंड (x + √(2)) को बाहर निकालते हैं, जिससे हमें गुणनखंडित रूप प्राप्त होता है।

पहले समीकरण से, x = -√(2) । दूसरे समीकरण से, √(2)x = -5 , इसलिए x = - {5}{√(2)} । हम हर का परिमेयकरण भी कर सकते हैं: x = - {5√(2)}{2} ।

पहले समीकरण से, x = -√(2) । दूसरे समीकरण से, √(2)x = -5 , इसलिए x = - {5}{√(2)} । हम हर का परिमेयकरण भी कर सकते हैं: x = - {5√(2)}{2} ।

गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए: (iii) $\sqrt{2}x^2 + 7x + 5\sqrt{2} = 0$

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Step-by-Step Solution

Step 1: समीकरण को मानक रूप में लिखें

दिए गए द्विघात समीकरण को मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में लिखा गया है, जहाँ $a = \sqrt{2}$ , $b = 7$ और $c = 5\sqrt{2}$ है।

Step 2: मध्य पद को विभाजित करें

हम मध्य पद $7x$ को दो पदों में विभाजित करते हैं, जिनका गुणनफल $a \cdot c = \sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10$ के बराबर हो और जिनका योग $b = 7$ के बराबर हो। ऐसे दो पद $2x$ और $5x$ हैं।

Step 3: पदों को समूहित करें और उभयनिष्ठ गुणनखंड लें

अब हम पहले दो पदों और अगले दो पदों को समूहित करते हैं और प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालते हैं। पहले समूह से $\sqrt{2}x$ और दूसरे समूह से $5$ उभयनिष्ठ गुणनखंड है।

Step 4: उभयनिष्ठ द्विपद गुणनखंड लें

अब हम उभयनिष्ठ द्विपद गुणनखंड $(x + \sqrt{2})$ को बाहर निकालते हैं, जिससे हमें गुणनखंडित रूप प्राप्त होता है।

Step 5: मूल ज्ञात करें

गुणनखंडित रूप से, हम प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर सेट करके समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं।

Step 6: x के लिए हल करें

पहले समीकरण से, $x = -\sqrt{2}$ । दूसरे समीकरण से, $\sqrt{2}x = -5$ , इसलिए $x = -\frac{5}{\sqrt{2}}$ । हम हर का परिमेयकरण भी कर सकते हैं: $x = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$ ।