हमें दिया गया है कि किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (x²+y²)/(2xy) है। हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा की प्रवणता (dy)/(dx) के बराबर होती है। इसलिए, हम दिए गए अवकल समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं।

हमें दिया गया है कि किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (x²+y²)/(2xy) है। हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा की प्रवणता (dy)/(dx) के बराबर होती है। इसलिए, हम दिए गए अवकल समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं।

यह एक समघातीय अवकल समीकरण है क्योंकि अंश और हर में प्रत्येक पद की घात समान है। इसे हल करने के लिए, हम अंश और हर को x² से विभाजित करते हैं ताकि इसे y/x के पदों में व्यक्त किया जा सके।

यह एक समघातीय अवकल समीकरण है क्योंकि अंश और हर में प्रत्येक पद की घात समान है। इसे हल करने के लिए, हम अंश और हर को x² से विभाजित करते हैं ताकि इसे y/x के पदों में व्यक्त किया जा सके।

हम y = vx प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं, जहाँ v एक फलन है x का। इसका अवकलज (dy)/(dx) = v + x(dv)/(dx) होता है। इस प्रतिस्थापन को समीकरण में रखने पर हमें यह प्राप्त होता है।

हम y = vx प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं, जहाँ v एक फलन है x का। इसका अवकलज (dy)/(dx) = v + x(dv)/(dx) होता है। इस प्रतिस्थापन को समीकरण में रखने पर हमें यह प्राप्त होता है।

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, बायाँ पक्ष ln|1-v²| देता है (क्योंकि (d)/(dv)(1-v²) = -2v ) और दायाँ पक्ष ln|x| देता है। हम समाकलन स्थिरांक ln|c| जोड़ते हैं।

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, बायाँ पक्ष ln|1-v²| देता है (क्योंकि (d)/(dv)(1-v²) = -2v ) और दायाँ पक्ष ln|x| देता है। हम समाकलन स्थिरांक ln|c| जोड़ते हैं।

समाकलन करने के बाद, हमें -ln|1-v²| = ln|x| + ln|c| प्राप्त होता है। लघुगणक के गुणों का उपयोग करके, हम इसे ln(1)/(1-v²) = ln|cx| के रूप में लिख सकते हैं। दोनों पक्षों से लघुगणक हटाने पर (1)/(1-v²) = cx प्राप्त होता है। अब, v = y/x को वापस प्रतिस्थापित करें।

समाकलन करने के बाद, हमें -ln|1-v²| = ln|x| + ln|c| प्राप्त होता है। लघुगणक के गुणों का उपयोग करके, हम इसे ln(1)/(1-v²) = ln|cx| के रूप में लिख सकते हैं। दोनों पक्षों से लघुगणक हटाने पर (1)/(1-v²) = cx प्राप्त होता है। अब, v = y/x को वापस प्रतिस्थापित करें।

प्रतिस्थापन के बाद, हमें (1)/(1-(y/x)²) = cx मिलता है। इसे सरल करने पर (x²)/(x²-y²) = cx प्राप्त होता है। आगे सरल करने पर x² = cx(x²-y²) मिलता है। x से विभाजित करने पर x = c(x²-y²) प्राप्त होता है। अंत में, x²-y² = (x)/(c) प्राप्त होता है। चूंकि c एक मनमाना स्थिरांक है, (1)/(c) भी एक मनमाना स्थिरांक है, जिसे हम फिर से c लिख सकते हैं।

प्रतिस्थापन के बाद, हमें (1)/(1-(y/x)²) = cx मिलता है। इसे सरल करने पर (x²)/(x²-y²) = cx प्राप्त होता है। आगे सरल करने पर x² = cx(x²-y²) मिलता है। x से विभाजित करने पर x = c(x²-y²) प्राप्त होता है। अंत में, x²-y² = (x)/(c) प्राप्त होता है। चूंकि c एक मनमाना स्थिरांक है, (1)/(c) भी एक मनमाना स्थिरांक है, जिसे हम फिर से c लिख सकते हैं।

दर्शाइए कि वक्रों का कुल, जिनके किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{x^2+y^2}{2 x y}$ है, $x^2-y^2=c x$ द्वारा प्रदत्त है।

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Step-by-Step Solution

Step 1: अवकल समीकरण स्थापित करें

हमें दिया गया है कि किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{x^2+y^2}{2xy}$ है। हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx}$ के बराबर होती है। इसलिए, हम दिए गए अवकल समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं।

Step 2: समीकरण को समघातीय रूप में बदलें

यह एक समघातीय अवकल समीकरण है क्योंकि अंश और हर में प्रत्येक पद की घात समान है। इसे हल करने के लिए, हम अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करते हैं ताकि इसे y/x के पदों में व्यक्त किया जा सके।

Step 3: प्रतिस्थापन करें

हम $y = vx$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं, जहाँ $v$ एक फलन है $x$ का। इसका अवकलज $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ होता है। इस प्रतिस्थापन को समीकरण में रखने पर हमें यह प्राप्त होता है।

Step 4: चरों को पृथक करें

अब हम समीकरण को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित करते हैं कि $v$ के पद एक तरफ और $x$ के पद दूसरी तरफ हों। यह हमें चरों को पृथक करने की अनुमति देता है ताकि हम दोनों पक्षों को समाकलित कर सकें।

Step 5: दोनों पक्षों का समाकलन करें

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, बायाँ पक्ष $\ln|1-v^2|$ देता है (क्योंकि $\frac{d}{dv}(1-v^2) = -2v$ ) और दायाँ पक्ष $\ln|x|$ देता है। हम समाकलन स्थिरांक $\ln|c|$ जोड़ते हैं।

Step 6: समाकलन करें और $v$ को y/x से प्रतिस्थापित करें

समाकलन करने के बाद, हमें $-\ln|1-v^2| = \ln|x| + \ln|c|$ प्राप्त होता है। लघुगणक के गुणों का उपयोग करके, हम इसे $\ln\left|\frac{1}{1-v^2}\right| = \ln|cx|$ के रूप में लिख सकते हैं। दोनों पक्षों से लघुगणक हटाने पर $\frac{1}{1-v^2} = cx$ प्राप्त होता है। अब, $v = y/x$ को वापस प्रतिस्थापित करें।

Step 7: अंतिम समीकरण प्राप्त करें

प्रतिस्थापन के बाद, हमें $\frac{1}{1-(y/x)^2} = cx$ मिलता है। इसे सरल करने पर $\frac{x^2}{x^2-y^2} = cx$ प्राप्त होता है। आगे सरल करने पर $x^2 = cx(x^2-y^2)$ मिलता है। $x$ से विभाजित करने पर $x = c(x^2-y^2)$ प्राप्त होता है। अंत में, $x^2-y^2 = \frac{x}{c}$ प्राप्त होता है। चूंकि $c$ एक मनमाना स्थिरांक है, $\frac{1}{c}$ भी एक मनमाना स्थिरांक है, जिसे हम फिर से $c$ लिख सकते हैं।