हम जानते हैं कि समय = दूरी / चाल। इसलिए, सामान्य चाल x पर 480 km की दूरी तय करने में लगा समय t_1 = (480)/(x) होगा। जब चाल 8 km/h कम हो जाती है, तो नई चाल x-8 होती है, और इस चाल से लिया गया समय t_2 = (480)/(x-8) होगा।

हम जानते हैं कि समय = दूरी / चाल। इसलिए, सामान्य चाल x पर 480 km की दूरी तय करने में लगा समय t_1 = (480)/(x) होगा। जब चाल 8 km/h कम हो जाती है, तो नई चाल x-8 होती है, और इस चाल से लिया गया समय t_2 = (480)/(x-8) होगा।

निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए: (iv) एक रेलगाड़ी $480 \text{ km}$ की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल $8 \text{ km/h}$ कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में $3$ घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।

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Step-by-Step Solution

Step 1: चरों को परिभाषित करें

सबसे पहले, हम रेलगाड़ी की सामान्य चाल को एक चर $x$ के रूप में मान लेते हैं। यह हमें समस्या को बीजगणितीय रूप में व्यक्त करने में मदद करेगा।

Step 2: समय के लिए व्यंजक लिखें

हम जानते हैं कि समय = दूरी / चाल। इसलिए, सामान्य चाल $x$ पर $480 \text{ km}$ की दूरी तय करने में लगा समय $t_1 = \frac{480}{x}$ होगा। जब चाल $8 \text{ km/h}$ कम हो जाती है, तो नई चाल $x-8$ होती है, और इस चाल से लिया गया समय $t_2 = \frac{480}{x-8}$ होगा।

Step 3: समीकरण स्थापित करें

समस्या के अनुसार, जब रेलगाड़ी की चाल $8 \text{ km/h}$ कम होती है, तो उसे उसी दूरी को तय करने में $3$ घंटे अधिक लगते हैं। इसका मतलब है कि कम चाल से लिया गया समय ( $t_2$ ) सामान्य चाल से लिए गए समय ( $t_1$ ) से $3$ घंटे अधिक है।

Step 4: द्विघात समीकरण में बदलें

अब हम समीकरण को सरल करेंगे और इसे एक मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में लिखेंगे। सबसे पहले, हम भिन्नों को हटाने के लिए उभयनिष्ठ हर x(x-8) से गुणा करते हैं। फिर, हम पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं और समीकरण को $3$ से विभाजित करते हैं ताकि इसे सरल बनाया जा सके।