दिए गए रेखा समीकरणों से, हम स्थिति सदिश {a}_{1} और {a}_{2} और दिशा सदिश {b} को निकालते हैं।

दिए गए रेखा समीकरणों से, हम स्थिति सदिश {a}_{1} और {a}_{2} और दिशा सदिश {b} को निकालते हैं।

अब हम सदिश {a}_{2} से सदिश {a}_{1} को घटाते हैं ताकि {a}_{2} - {a}_{1} प्राप्त हो सके, जो दूरी सूत्र का एक घटक है।

अब हम सदिश {a}_{2} से सदिश {a}_{1} को घटाते हैं ताकि {a}_{2} - {a}_{1} प्राप्त हो सके, जो दूरी सूत्र का एक घटक है।

अब हम दिशा सदिश {b} का परिमाण ज्ञात करते हैं, जो दूरी सूत्र का हर है।

अंत में, हम क्रॉस उत्पाद के परिमाण को {b} के परिमाण से विभाजित करके न्यूनतम दूरी ज्ञात करते हैं।

अंत में, हम क्रॉस उत्पाद के परिमाण को {b} के परिमाण से विभाजित करके न्यूनतम दूरी ज्ञात करते हैं।

निम्नलिखित दी गई रेखाओं $l_1$ और $l_2$ : $r = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k} + \lambda (2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$ और $r = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k} + \mu (2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$ के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: दिए गए समीकरणों की पहचान करें

दी गई रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ से तुलना करके, हम $\vec{a}_{1}$ , $\vec{a}_{2}$ और $\vec{b}$ के मानों की पहचान करते हैं। यहाँ, दोनों रेखाएँ एक ही दिशा सदिश $\vec{b}$ के समानांतर हैं, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ समानांतर हैं।

Step 2: सदिशों के मान निकालें

दिए गए रेखा समीकरणों से, हम स्थिति सदिश $\vec{a}_{1}$ और $\vec{a}_{2}$ और दिशा सदिश $\vec{b}$ को निकालते हैं।

Step 3: समांतर रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी का सूत्र लागू करें

चूंकि रेखाएँ समानांतर हैं (क्योंकि उनके दिशा सदिश समान हैं), उनके बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए हम इस विशेष सूत्र का उपयोग करते हैं।

Step 4: $(\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1})$ की गणना करें

अब हम सदिश $\vec{a}_{2}$ से सदिश $\vec{a}_{1}$ को घटाते हैं ताकि $\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}$ प्राप्त हो सके, जो दूरी सूत्र का एक घटक है।

Step 5: $(\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}) \times \vec{b}$ की गणना करें

हम सदिश $\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}$ और $\vec{b}$ का क्रॉस उत्पाद ज्ञात करते हैं। यह एक सारणिक का उपयोग करके किया जाता है।

Step 6: $|\vec{b}|$ की गणना करें

अब हम दिशा सदिश $\vec{b}$ का परिमाण ज्ञात करते हैं, जो दूरी सूत्र का हर है।

Step 7: न्यूनतम दूरी की गणना करें

अंत में, हम क्रॉस उत्पाद के परिमाण को $\vec{b}$ के परिमाण से विभाजित करके न्यूनतम दूरी ज्ञात करते हैं।