अब हम द्वितीय अवकलज (d² y)/(dx²) और मूल फलन y के मानों को दिए गए अवकल समीकरण (d² y)/(dx²) + 9 y - 6 cos 3x = 0 में प्रतिस्थापित करेंगे।

अब हम द्वितीय अवकलज (d² y)/(dx²) और मूल फलन y के मानों को दिए गए अवकल समीकरण (d² y)/(dx²) + 9 y - 6 cos 3x = 0 में प्रतिस्थापित करेंगे।

निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक के लिए सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है। (iii) $y = x \sin 3x$ : $\frac{d^2 y}{dx^2} + 9 y - 6 \cos 3x = 0$

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Step-by-Step Solution

Step 1: प्रथम अवकलज ज्ञात करें

दिए गए फलन $y = x \sin 3x$ का $x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज ज्ञात करने के लिए, हम गुणनफल नियम (product rule) का उपयोग करेंगे। गुणनफल नियम $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ है, जहाँ $u = x$ और $v = \sin 3x$ ।

Step 2: प्रथम अवकलज की गणना

गुणनफल नियम लागू करने पर, हमें $x$ का अवकलज $1$ और $\sin 3x$ का अवकलज $3 \cos 3x$ मिलता है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्रथम अवकलज प्राप्त होता है।

Step 3: द्वितीय अवकलज ज्ञात करें

अब हम प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx} = \sin 3x + 3x \cos 3x$ का $x$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलज ज्ञात करेंगे। इसके लिए हम योग नियम और गुणनफल नियम का पुनः उपयोग करेंगे।

Step 4: द्वितीय अवकलज की गणना

$\sin 3x$ का अवकलज $3 \cos 3x$ है। $3x \cos 3x$ के लिए गुणनफल नियम का उपयोग करने पर, हमें $3 \cos 3x + 3x(-3 \sin 3x)$ मिलता है।

Step 5: द्वितीय अवकलज को सरल करें

पिछले चरण के पदों को संयोजित करके, हम द्वितीय अवकलज को सरल करते हैं।

Step 6: अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करें

अब हम द्वितीय अवकलज $\frac{d^2 y}{dx^2}$ और मूल फलन $y$ के मानों को दिए गए अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{dx^2} + 9 y - 6 \cos 3x = 0$ में प्रतिस्थापित करेंगे।

Step 7: समीकरण को सत्यापित करें

समीकरण में पदों को सरल करने पर, हम देखते हैं कि $6 \cos 3x$ और $-6 \cos 3x$ रद्द हो जाते हैं, और $-9x \sin 3x$ और $9x \sin 3x$ भी रद्द हो जाते हैं, जिससे $0 = 0$ प्राप्त होता है। यह दर्शाता है कि दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है।