सबसे पहले, हम 108 और 192 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं। 108 के अभाज्य गुणनखंड 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2² × 3³ हैं। इसी प्रकार, 192 के अभाज्य गुणनखंड 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2^6 × 3 हैं।

सबसे पहले, हम 108 और 192 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं। 108 के अभाज्य गुणनखंड 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2² × 3³ हैं। इसी प्रकार, 192 के अभाज्य गुणनखंड 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2^6 × 3 हैं।

हम 270 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं। 270 = 2 × 135 = 2 × 3 × 45 = 2 × 3 × 3 × 15 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3³ × 5 ।

हम 729 और 64 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं। 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3^6 । इसी प्रकार, 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2^6 ।

हम 729 और 64 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं। 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3^6 । इसी प्रकार, 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2^6 ।

हम 768 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं। 768 = 2 × 384 = 2 × 2 × 192 = 2 × 2 × 2 × 96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 24 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 12 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2^8 × 3 ।

हम 768 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं। 768 = 2 × 384 = 2 × 2 × 192 = 2 × 2 × 2 × 96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 24 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 12 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2^8 × 3 ।

निम्नलिखित में से प्रत्येक को केवल अभाज्य गुणनखंडों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए : (i) $108 \times 192$ (ii) $270$ (iii) $729 \times 64$ (iv) $768$

Get the complete, step-by-step math solution for: "निम्नलिखित में से प्रत्येक को केवल अभाज्य गुणनखंडों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए : (i) 108 × 192 (ii) 270 (iii) 729 × 64 (iv) 768". Powered by SolveForX AI math tutor.

Step-by-Step Solution

Step 1: अभाज्य गुणनखंडन (i) $108 \times 192$

सबसे पहले, हम $108$ और $192$ के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं। $108$ के अभाज्य गुणनखंड $2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^3$ हैं। इसी प्रकार, $192$ के अभाज्य गुणनखंड $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^6 \times 3$ हैं।

Step 2: घातों का गुणनफल (i) $108 \times 192$

अब, हम $108$ और $192$ के अभाज्य गुणनखंडों को गुणा करते हैं। घातांक के नियमों का उपयोग करके, हम समान आधार वाली घातों को जोड़ते हैं। इस प्रकार, $2^2 \times 2^6 = 2^{2+6} = 2^8$ और $3^3 \times 3^1 = 3^{3+1} = 3^4$ ।

Step 3: अभाज्य गुणनखंडन (ii) $270$

हम $270$ के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं। $270 = 2 \times 135 = 2 \times 3 \times 45 = 2 \times 3 \times 3 \times 15 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 = 2 \times 3^3 \times 5$ ।

Step 4: अभाज्य गुणनखंडन (iii) $729 \times 64$

हम $729$ और $64$ के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं। $729 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^6$ । इसी प्रकार, $64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^6$ ।

Step 5: घातों का गुणनफल (iii) $729 \times 64$

अब, हम $729$ और $64$ के अभाज्य गुणनखंडों को गुणा करते हैं। चूंकि आधार अलग-अलग हैं लेकिन घातांक समान हैं, हम उन्हें सीधे गुणा कर सकते हैं।

Step 6: अभाज्य गुणनखंडन (iv) $768$

हम $768$ के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं। $768 = 2 \times 384 = 2 \times 2 \times 192 = 2 \times 2 \times 2 \times 96 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^8 \times 3$ ।