पहले स्ट्रोक के बाद, पंप शेष हवा का (1)/(4) भाग बाहर निकाल देता है। इसलिए, हवा की मात्रा V - (1)/(4)V = (3)/(4)V हो जाती है।

पहले स्ट्रोक के बाद, पंप शेष हवा का (1)/(4) भाग बाहर निकाल देता है। इसलिए, हवा की मात्रा V - (1)/(4)V = (3)/(4)V हो जाती है।

दूसरे स्ट्रोक के बाद, पंप शेष हवा (3)/(4)V का (1)/(4) भाग बाहर निकाल देता है। इसलिए, हवा की मात्रा (3)/(4)V - (1)/(4)(3)/(4)V = (3)/(4)^2V हो जाती है।

दूसरे स्ट्रोक के बाद, पंप शेष हवा (3)/(4)V का (1)/(4) भाग बाहर निकाल देता है। इसलिए, हवा की मात्रा (3)/(4)V - (1)/(4)(3)/(4)V = (3)/(4)^2V हो जाती है।

इस प्रकार, प्रत्येक स्ट्रोक के बाद बेलन में हवा की मात्रा की सूची V, (3)/(4)V, (3)/(4)^2V, (3)/(4)^3V, है।

इस प्रकार, प्रत्येक स्ट्रोक के बाद बेलन में हवा की मात्रा की सूची V, (3)/(4)V, (3)/(4)^2V, (3)/(4)^3V, है।

चूंकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है (अर्थात, a_2 - a_1 ≠ a_3 - a_2 ), इसलिए यह सूची एक समांतर श्रेणी (A.P.) नहीं है।

चूंकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है (अर्थात, a_2 - a_1 ≠ a_3 - a_2 ), इसलिए यह सूची एक समांतर श्रेणी (A.P.) नहीं है।

निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों? (ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पंप प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का $\frac{1}{4}$ भाग बाहर निकाल देता है।

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Step-by-Step Solution

Step 1: प्रारंभिक मात्रा निर्धारित करें

मान लीजिए कि बेलन में हवा की प्रारंभिक मात्रा $V$ है। यह हमारी सूची का पहला पद होगा।

Step 2: पहले स्ट्रोक के बाद हवा की मात्रा ज्ञात करें

पहले स्ट्रोक के बाद, पंप शेष हवा का $\frac{1}{4}$ भाग बाहर निकाल देता है। इसलिए, हवा की मात्रा $V - \frac{1}{4}V = \frac{3}{4}V$ हो जाती है।

Step 3: दूसरे स्ट्रोक के बाद हवा की मात्रा ज्ञात करें

दूसरे स्ट्रोक के बाद, पंप शेष हवा $\left(\frac{3}{4}V\right)$ का $\frac{1}{4}$ भाग बाहर निकाल देता है। इसलिए, हवा की मात्रा $\frac{3}{4}V - \frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}V\right) = \left(\frac{3}{4}\right)^2V$ हो जाती है।

Step 4: संबद्ध संख्याओं की सूची लिखें

इस प्रकार, प्रत्येक स्ट्रोक के बाद बेलन में हवा की मात्रा की सूची $V, \frac{3}{4}V, \left(\frac{3}{4}\right)^2V, \left(\frac{3}{4}\right)^3V, \dots$ है।

Step 5: सार्व अंतर की जाँच करें

सार्व अंतर ज्ञात करने के लिए, हम क्रमागत पदों के बीच के अंतर की गणना करते हैं। यहाँ, $a_2 - a_1 = -\frac{1}{4}V$ और $a_3 - a_2 = -\frac{3}{16}V$ है।

Step 6: निष्कर्ष

चूंकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है (अर्थात, $a_2 - a_1 \neq a_3 - a_2$ ), इसलिए यह सूची एक समांतर श्रेणी (A.P.) नहीं है।